Matrice involutoria

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In algebra lineare per matrice involutoria si intende una matrice che coincide con la propria inversa; si tratta quindi di un caso particolare di matrice invertibile. In particolare le matrici involutive o involuzioni soddisfano l'equazione:

$\mathbf {A} ^{2}=I$

che impone per gli autovalori i valori +1 e -1. Alcune matrici involutorie sui reali sono interpretabili come trasformazioni lineari involutorie di uno spazio Rⁿ in sé e più concretamente come riflessioni.

Si vede facilmente che anche la matrice opposta di una involutoria è una matrice involutoria.

Questi sono alcuni esempi di matrici involutorie che, come si può vedere abbastanza facilmente, rappresentano riflessioni in R²

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\sin \theta &\cos \theta \\\cos \theta &-\sin \theta \end{bmatrix}}$

e in R³

${\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&-1&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}0&0&1\\0&-1&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}\sin \theta &0&\cos \theta \\0&-1&0\\\cos \theta &0&-\sin \theta \end{bmatrix}}$