Ottica matriciale

L'ottica matriciale è un particolare formalismo che permette di ricavare la traiettoria di un raggio luminoso (nelle approssimazioni dell'ottica geometrica) all'interno di un sistema ottico centrato; più nel dettaglio il raggio luminoso viene schematizzato come un vettore colonna a due componenti non omogenee: la prima rappresenta la distanza del raggio dall'asse ottico del sistema, la seconda invece la sua inclinazione rispetto allo stesso asse.

Se si indica con z la distanza misurata sull'asse ottico, in ottica matriciale un raggio luminoso viene scritto come

${\displaystyle {\vec {r}}(z)={\begin{pmatrix}r(z)\\{\frac {dr}{dz}}(z)\end{pmatrix}}}$

Consideriamo poi un qualsiasi elemento ottico attraversato dal raggio ed indichiamo con ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}(z)}$ e ${\displaystyle {\vec {r}}_{o}(z)}$ rispettivamente il raggio in ingresso e in uscita dall'elemento considerato, l'ottica geometrica permette di ricavare ${\displaystyle {\vec {r}}_{o}(z)}$ a partire da ${\displaystyle {\vec {r}}_{i}(z)}$ con una relazione del tipo

${\displaystyle {\vec {r}}_{o}(z)={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}{\vec {r}}_{i}(z)}$

dove la matrice 2${\displaystyle \times }$2 ABCD è una caratteristica dell'elemento ottico considerato. Con questo formalismo la propagazione attraverso due elementi ottici consecutivi caratterizzati da matrici M${\displaystyle _{1}}$ e M${\displaystyle _{2}}$ è data da un unico elemento descritto dalla matrice prodotto M${\displaystyle _{1}}$ M${\displaystyle _{2}}$.

Mezzo omogeneo di spessore d

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&d\\0&1\end{pmatrix}}}$

Interfaccia piana tra due dielettrici con indici di rifrazione ${\displaystyle n_{1}}$ e ${\displaystyle n_{2}}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&0\\0&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{pmatrix}}}$

Interfaccia curva (raggio di curvatura ${\displaystyle R}$) tra due dielettrici con indici di rifrazione ${\displaystyle n_{1}}$ e ${\displaystyle n_{2}}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {n_{1}-n_{2}}{n_{2}R}}&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{pmatrix}}}$

Lente sottile di focale ${\displaystyle f\quad }$ (attenzione: ${\displaystyle f<0}$ se la lente è divergente)

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{pmatrix}}}$

Due lenti di focali ${\displaystyle f_{1}\quad }$ e ${\displaystyle f_{2}\quad }$ in configurazione telescopica

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}-{\frac {f_{2}}{f_{1}}}&f_{1}+f_{2}\\0&-{\frac {f_{1}}{f_{2}}}\end{pmatrix}}}$

Fibra ottica o lente GRIN con indice di rifrazione graduato secondo la legge ${\displaystyle n=n_{0}-{\frac {1}{2}}n_{2}r^{2}}$ e pitch ${\displaystyle {\frac {\varphi }{2\pi }}}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\cos {\varphi }&{\frac {\sin {\varphi }}{\sqrt {n_{0}n_{2}}}}\\-{\frac {\sin {\varphi }}{\sqrt {n_{0}n_{2}}}}&\cos {\varphi }\end{pmatrix}}}$

Con argomenti termodinamici si può dimostrare una proprietà generale delle matrici ABCD dell'ottica geometrica e cioè che il determinante di tali matrici ${\displaystyle AD-BC}$ è sempre uguale al rapporto ${\displaystyle {\frac {n_{1}}{n_{2}}}}$ fra gli indici di rifrazione dei mezzi di ingresso e uscita dell'elemento ottico considerato.