Serie di Bell

In matematica, per serie di Bell si intende una serie formale di potenze utilizzata per studiare le proprietà delle funzioni aritmetiche moltiplicative. Questo genere di serie è stato introdotto e sviluppato da Eric Temple Bell.

Consideriamo una funzione aritmetica f {\displaystyle f} e un numero primo p {\displaystyle p} , si definisce come serie di Bell di f {\displaystyle f} modulo p {\displaystyle p} la serie formale di potenze f p ( x ) {\displaystyle f_{p}(x)} espressa come

f p ( x ) := ∑ n = 0 ∞ f ( p n ) x n . {\displaystyle f_{p}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.}

Vale un teorema di unicità: date due funzioni moltiplicative f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} , accade che f = g {\displaystyle f=g} se e solo se f p ( x ) = g p ( x ) {\displaystyle f_{p}(x)=g_{p}(x)} per tutti i primi p . {\displaystyle p.}

Vale anche un teorema di moltiplicazione: per ogni coppia di funzioni aritmetiche f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} , denotiamo con h = f ∗ g {\displaystyle h=f*g} la loro convoluzione di Dirichlet. Allora per ogni numero primo p {\displaystyle p} si ha

h p ( x ) = f p ( x ) g p ( x ) . {\displaystyle h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).}

In particolare, questo rende agevole trovare la serie di Bell di una serie di una inversa di Dirichlet.

Se f {\displaystyle f} è una funzione completamente moltiplicativa, allora

f p ( x ) = 1 1 − f ( p ) x . {\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.}

Esempi

Il seguente elenco presenta le serie di Bell delle funzioni aritmetiche più note.

  • Funzione di Möbius: μ p ( x ) = 1 − x . {\displaystyle \mu _{p}(x)=1-x.}
  • Funzione toziente di Eulero: ϕ p ( x ) = 1 − x 1 − p x . {\displaystyle \phi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.}
  • Funzione di Liouville: λ p ( x ) = 1 1 + x . {\displaystyle \lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.}
  • Funzione potenza k {\displaystyle k} -esima (con k {\displaystyle k} intero non negativo): ( Id k ) p ( x ) = 1 1 − p k x . {\displaystyle ({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}.}
  • Funzione sigma: ( σ k ) p ( x ) = 1 1 − σ k ( p ) x + p k x 2 . {\displaystyle (\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-\sigma _{k}(p)x+p^{k}x^{2}}}.}

Bibliografia

  • Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 (Chapter 2.16).


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