Sufficientemente grande

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In matematica, l'espressione "sufficientemente grande" è usata in contesti come:

${\displaystyle P}$ è vera per ${\displaystyle x}$ sufficientemente grande

dove ${\displaystyle P}$ indica una generica proprietà, o affermazione ben definita, che per esteso si esprime:

esiste ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ tale che ${\displaystyle P}$ è vera per ogni ${\displaystyle x\geq a}$.

A volte si dice anche che ${\displaystyle P}$ è definitivamente vera. Questo non significa necessariamente che siano noti dei valori particolari di ${\displaystyle a}$ che soddisfino tale condizione, ma solo che un tale ${\displaystyle a}$ esiste.

La frase "sufficientemente grande" non deve essere confusa con le espressioni "arbitrariamente grande" o "infinitamente grande"; infatti

${\displaystyle P}$ è vera per ${\displaystyle x}$ arbitrariamente grande

vuol dire:

per ogni ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ esiste ${\displaystyle x\geq a}$ tale che ${\displaystyle P}$ è vera per ${\displaystyle x}$.

Per fare un esempio:

• la frase "${\displaystyle \sin x\geq 0}$ per ${\displaystyle x}$ sufficientemente grande" è falsa, poiché vorrebbe dire che tutti i valori dopo ${\displaystyle a}$ hanno seno positivo, mentre il seno oscilla infinite volte tra -1 e 1.
• la frase "${\displaystyle \sin x\geq 0}$ per ${\displaystyle x}$ arbitrariamente grande" è vera, poiché per ogni ${\displaystyle a}$ reale esisteranno sempre punti dopo ${\displaystyle a}$ che avranno seno positivo, di nuovo per la periodicità del seno.

Il concetto di "sufficientemente grande" è talvolta argomento di umorismo matematico, come ad esempio nella battuta "π = 3, per valori sufficientemente grandi di 3".

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