Test di Jarque-Bera

Il test di Jarque-Bera è un test statistico per la verifica dell'ipotesi di normalità ed è impiegato molto spesso in campo econometrico. Esso si basa sulla misura dell'asimmetria e della curtosi di una distribuzione.

Si considera in particolare la distribuzione asintotica di una combinazione dei noti coefficienti β 3 {\displaystyle \beta _{3}} e β 4 {\displaystyle \beta _{4}} (o γ 3 {\displaystyle \gamma _{3}} e γ 4 {\displaystyle \gamma _{4}} ) che è di tipo chi-quadro

La variabile testata è

J B = n 6 ( S 2 + ( K − 3 ) 2 4 ) , {\displaystyle {\mathit {JB}}={\frac {n}{6}}\left(S^{2}+{\frac {(K-3)^{2}}{4}}\right),}

dove n è il numero delle osservazioni, o gradi di libertà,S è l'asimmetria del campione, K è la curtosi del campione definiti come

S = μ 3 σ 3 = μ 3 ( σ 2 ) 3 / 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x − x ¯ ) 3 ( 1 n ∑ i = 1 n ( x − x ¯ ) 2 ) 3 / 2 {\displaystyle S={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\mu _{3}}{\left(\sigma ^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}}
K = μ 4 σ 4 = μ 4 ( σ 2 ) 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( x − x ¯ ) 4 ( 1 n ∑ i = 1 n ( x − x ¯ ) 2 ) 2 {\displaystyle K={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}={\frac {\mu _{4}}{\left(\sigma ^{2}\right)^{2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{2}}}}

dove μ3 e μ4 sono il terzo e quarto momento centrale, x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} è la media campionaria e σ2 è la varianza.

La statistica JB è distribuita asintoticamente come una variabile casuale chi quadro con due gradi di libertà e può essere usata per testare l'ipotesi nulla che il campione è stato estratto da una popolazione di dati distribuiti come una variabile casuale normale.

L'ipotesi nulla è un'ipotesi congiunta che sia asimmetria che curtosi in eccesso siano nulle. Tale ipotesi viene rigettata per valori di JB troppo grandi.

Questo test è utilizzato frequentemente per determinare se i residui di una regressione lineare sono normali. Certi autori[1] propongono di correggere JB con il numero di variabili usate nella regressione, mentre altri[2] non lo menzionano affatto.

Note

  1. ^ page 275 de Lardic, Mignon (2002), Econométrie des séries temporelles macroénonomiques et financières, Economica, Paris,
  2. ^ page 174 de Verbeek (2000) Modern Econometrics, Wiley

Bibliografia

  • Bera, Anil K.; Carlos M. Jarque (1980). "Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals". Economics Letters 6 (3): 255–259.
  • Bera, Anil K.; Carlos M. Jarque (1981). "Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals: Monte Carlo evidence". Economics Letters 7 (4): 313–318.
  • Jarque, C. M. & Bera, A. K. [1987], A test for normality of observations and regression residuals, International Statistical Review 55, 163–172.

Voci correlate

  • Carlos M. Jarque
  • Anil K. Bera
  • Test di Shapiro-Wilk, altro test per la verifica di normalità
  • Test di Kolmogorov-Smirnov, test non parametrico per confrontare due distribuzioni
  • Test di Breusch-Pagan, per la verifica di omoschedasticità in econometria