Vita media

Disambiguazione – Se stai cercando l'indicatore statistico che misura la durata media della vita umana, vedi Speranza di vita.

La vita media τ {\displaystyle \tau } di un nucleo radioattivo è statisticamente il tempo medio che deve trascorrere prima che il radionuclide decada. Più precisamente è il tempo dopo il quale il numero dei nuclei iniziali si è ridotto a un fattore 1/e del numero iniziale. Tale valore è legato al tempo di dimezzamento (o emivita) e alla costante di decadimento λ {\displaystyle \lambda } dalla semplice relazione[1]:

τ = 1 λ = t 1 / 2 ln ⁡ 2 {\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}={\frac {t_{1/2}}{\ln 2}}}

dove con τ {\displaystyle \tau } si è indicata la vita media e con t 1 / 2 {\displaystyle t_{1/2}} il tempo di dimezzamento.

Derivazione matematica

Se al tempo t = 0 {\displaystyle t=0} si hanno N 0 {\displaystyle N_{0}} nuclei radioattivi, il numero N ( t ) {\displaystyle N(t)} di nuclei ancora non decaduti al tempo t {\displaystyle t} sarà dato dalla relazione[1]:

N ( t ) = N 0 e − λ t = N 0 e − t / τ = N 0 2 − t / t 1 / 2 {\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}=N_{0}e^{-t/\tau }=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}}

dove λ {\displaystyle \lambda } è la costante di decadimento, τ {\displaystyle \tau } è la vita media mentre t 1 / 2 {\displaystyle t_{1/2}} è il tempo di dimezzamento. La vita media di un elemento radioattivo mi dà l'intervallo di tempo in cui il numero di particelle presenti N {\displaystyle N} si riduce di 1 e {\displaystyle {\frac {1}{e}}} volte relativamente al numero iniziale di particelle[2][3]:

N ( τ ) = N 0 e = N 0 2 , 718 {\displaystyle N(\tau )={\frac {N_{0}}{e}}={\frac {N_{0}}{2,718}}}

Il nome "vita media" dipende dal fatto che può essere calcolato come media integrale nel seguente modo[4]:

τ := ⟨ t ⟩ = ∫ 0 ∞ t N 0 e − λ t d t ∫ 0 ∞ N 0 e − λ t d t = 1 λ {\displaystyle \tau :=\langle t\rangle ={\frac {\int _{0}^{\infty }{tN_{0}e^{-\lambda t}\,\mathrm {d} t}}{\int _{0}^{\infty }{N_{0}e^{-\lambda t}\,\mathrm {d} t}}}={\frac {1}{\lambda }}}

dove e − λ t {\displaystyle e^{-\lambda t}} rappresenta la probabilità del radionuclide di sopravvivere nell'intervallo che va da zero fino all'istante t.

Note

  1. ^ a b Giorgio Bendiscioli, Fenomeni Radioattivi, Springer, 2013, ISBN 978-88-470-0803-8. p.8
  2. ^ Gianpaolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori, L'evoluzione della Fisica (Volume 3), Paravia, 2006, ISBN 88-395-1611-5. p.523
  3. ^ Giorgio Bendiscioli, Fenomeni radioattivi, Springer, 2013, ISBN 978-88-470-0803-8. p.8
  4. ^ Maurizio Pelliccioni, Fondamenti Fisici della Radioprotezione, Pitagora Editrice Bologna, 1993, ISBN 88-371-0470-7. p.121

Bibliografia

  • Giorgio Bendiscioli, Fenomeni Radioattivi, Springer, 2013, ISBN 978-88-470-0803-8.
  • Gianpaolo Parodi, Marco Ostili, Guglielmo Mochi Onori, L'evoluzione della Fisica (Volume 3), Paravia, 2006, ISBN 88-395-1611-5.
  • Maurizio Pelliccioni, Fondamenti Fisici della Radioprotezione, Pitagora Editrice Bologna, 1993, ISBN 88-371-0470-7.

Voci correlate

  • Decadimento esponenziale
  • Decadimento radioattivo
  • Emivita (fisica)

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