ニューマン–シャンクス–ウィリアムズ素数

数学において、ニューマン–シャンクス–ウィリアムズ素数（Newman–Shanks–Williams prime、NSW素数）は次のような形で書くことのできる素数

${\displaystyle S_{2m+1}={\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}+\left(1-{\sqrt {2}}\right)^{2m+1}}{2}}.}$

この素数は平方位数の有限単純群の研究中の1981年にMorris Newman, Daniel Shanks, Hugh C. Williamsの3人により最初に記述された。

最初のいくつかのNSW素数は7, 41, 239, 9369319, 63018038201, … （オンライン整数列大辞典の数列 A088165）であり、これは指数 3, 5, 7, 19, 29, …に対応している（オンライン整数列大辞典の数列 A005850）。

式中に示された数列Sは以下の漸化式で記述することができる。

${\displaystyle S_{0}=1\,}$

${\displaystyle S_{1}=1\,}$

${\displaystyle S_{n}=2S_{n-1}+S_{n-2}\qquad {\text{for all }}n\geq 2.}$

数列の最初の数項は1, 1, 3, 7, 17, 41, 99, … となる（オンライン整数列大辞典の数列 A001333）。この数列の各項は対応するペル数の数列項の半分である。これらの数も連分数の収束において√2に収束する。

参考文献

• Newman, M.; Shanks, D.; Williams, H. C. (1980). “Simple groups of square order and an interesting sequence of primes”. Acta Arithmetica 38 (2): 129–140. 

外部リンク

• The Prime Glossary: NSW number