偏相関

偏相関（へんそうかん、英: Partial correlation）は、別の交絡因子による影響を取り除いた関心のある2つの変数の間の相関を表す概念である。相関係数を使用すると、別の交絡因子がある場合に誤解を招く結果が得られる。この誤解を招く情報は、偏相関係数を計算し交絡変数を制御することによって回避できる。

偏相関係数は、相関係数と同様に、–1から1の範囲の値を取る。偏相関係数の値が–1のときは、別の交絡因子による影響を取り除いた完全な負の相関（線形関係）を表す。偏相関係数の値が1のときは完全な正の相関（線形関係）を表し、値が0のときは線形関係がないことを表す。

定義

n 個の制御変数 Z = {Z1, Z2, ..., Zn} が与えられた場合の X と Y の間の偏相関 ρXY·Z は、eX（X を Z で線形回帰したときの残差）と eY（Y を Z で線形回帰したときの残差）の相関である。

計算

関連する2つの線形回帰問題を解き、残差を取得し、残差間の相関を計算する。

線形回帰の使用

例

X Y Z
2 1 0
4 2 0
15 3 1
20 4 1 


> X = c(2,4,15,20)
> Y = c(1,2,3,4)
> Z = c(0,0,1,1)
> mm1 = lm(X~Z)
> res1 = mm1$residuals
> mm2 = lm(Y~Z)
> res2 = mm2$residuals
> cor(res1,res2)
[1] 0.919145
> cor(X,Y)
[1] 0.9695016
> generalCorr::parcorMany(cbind(X,Y,Z))
                 
     nami namj partij   partji rijMrji  
[1,] "X"  "Y"  "0.8844" "1"    "-0.1156"
[2,] "X"  "Z"  "0.1581" "1"    "-0.8419"

再帰式の使用

ρ X Y ⋅ Z = ρ X Y ⋅ Z ∖ { Z 0 } − ρ X Z 0 ⋅ Z ∖ { Z 0 } ρ Z 0 Y ⋅ Z ∖ { Z 0 } 1 − ρ X Z 0 ⋅ Z ∖ { Z 0 } 2 1 − ρ Z 0 Y ⋅ Z ∖ { Z 0 } 2 . {\displaystyle \rho _{XY\cdot \mathbf {Z} }={\frac {\rho _{XY\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}-\rho _{XZ_{0}\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}\rho _{Z_{0}Y\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}}{{\sqrt {1-\rho _{XZ_{0}\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}^{2}}}{\sqrt {1-\rho _{Z_{0}Y\cdot \mathbf {Z} \setminus \{Z_{0}\}}^{2}}}}}.}

ρ X Y ⋅ Z = ρ X Y − ρ X Z ρ Z Y 1 − ρ X Z 2 1 − ρ Z Y 2 {\displaystyle \rho _{XY\cdot Z}={\frac {\rho _{XY}-\rho _{XZ}\rho _{ZY}}{{\sqrt {1-\rho _{XZ}^{2}}}{\sqrt {1-\rho _{ZY}^{2}}}}}}

逆行列の使用

ρ X i X j ⋅ V ∖ { X i , X j } = − p i j p i i p j j . {\displaystyle \rho _{X_{i}X_{j}\cdot \mathbf {V} \setminus \{X_{i},X_{j}\}}=-{\frac {p_{ij}}{\sqrt {p_{ii}p_{jj}}}}.}

解釈

N = 3 の観測データがあり、2次元の超平面がある場合の偏相関の幾何学的解釈

幾何学的

条件付き独立性テストとして

参照：フィッシャー変換

z ( ρ ^ X Y ⋅ Z ) = 1 2 ln ⁡ ( 1 + ρ ^ X Y ⋅ Z 1 − ρ ^ X Y ⋅ Z ) . {\displaystyle z({\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} })={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+{\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} }}{1-{\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} }}}\right).}

N − | Z | − 3 ⋅ | z ( ρ ^ X Y ⋅ Z ) | > Φ − 1 ( 1 − α / 2 ) , {\displaystyle {\sqrt {N-|\mathbf {Z} |-3}}\cdot |z({\hat {\rho }}_{XY\cdot \mathbf {Z} })|>\Phi ^{-1}(1-\alpha /2),}

半偏相関（部分相関）

時系列分析で使用

φ ( h ) = ρ X 0 X h ⋅ { X 1 , … , X h − 1 } . {\displaystyle \varphi (h)=\rho _{X_{0}X_{h}\,\cdot \,\{X_{1},\,\dots \,,X_{h-1}\}}.}

関連項目

参考文献

外部リンク

ウィキバーシティに偏相関に関する学習教材があります。
  • Prokhorov, A.V. (2001), “Partial correlation coefficient”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Partial_correlation_coefficient&oldid=14288 
  • Mathematical formulae in the "Description" section of the IMSL Numerical Library PCORR routine
  • A three-variable example