Vijfenzestigduizend-vijfhonderdzevenendertighoek

Een vijfenzestigduizend-vijfhonderdzevenendertighoek of 65537-hoek is een meetkundige figuur (een veelhoek) met 65537 hoeken en evenzoveel zijden. Het aantal hoeken en zijden van een veelhoek wordt meestal aangegeven met de letter ${\displaystyle n}$ en in dit geval is dus ${\displaystyle n=65537}$.

Regelmatige 65537-hoek

• De grootte ${\displaystyle \alpha }$ van een hoek van een regelmatige 65537-hoek is (in graden):

${\displaystyle \alpha ={\frac {n-2}{n}}\cdot {{180}^{\text{o}}}={\frac {65535}{65537}}\cdot {{180}^{\text{o}}}={{179{,}994...}^{\text{o}}}}$

• De algemene formule voor de oppervlakte ${\displaystyle A}$ van een regelmatige ${\displaystyle n}$-hoek waarvan de lengte van de zijde gelijk is aan ${\displaystyle z}$, luidt:

${\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}n{{z}^{2}}\cot \left({\frac {{180}^{\text{o}}}{n}}\right)}$

Voor ${\displaystyle n=65537}$ is dat:

${\displaystyle A={\frac {65537}{4}}\cdot {{z}^{2}}\cot \left({\frac {{180}^{\text{o}}}{65537}}\right)\approx {\text{341}}{\text{.793}}{\text{.067}}{\text{,98}}\cdot {{z}^{2}}}$

• Voor de omtrek ${\displaystyle S_{in}}$ van een regelmatige ${\displaystyle n}$-hoek die is ingeschreven in een cirkel^[1] waarvan de lengte van de straal gelijk is aan ${\displaystyle 1}$, geldt:

${\displaystyle {{S}_{in}}=2n\cdot \sin \left({\frac {{180}^{\text{o}}}{n}}\right)}$

Met ${\displaystyle n=65537}$ geeft dit:

${\displaystyle {{S}_{in}}=2\cdot 65537\cdot \sin \left({\frac {{180}^{\text{o}}}{65537}}\right)\approx 6{,}283185}$

Hieruit volgt een benadering van het getal ${\displaystyle \pi }$ in ${\displaystyle 6}$ decimalen: ${\displaystyle 3{,}141593}$ en dit is gelijk aan de werkelijke waarde van ${\displaystyle \pi }$ bij afronding op ${\displaystyle 6}$ decimalen. Een regelmatige 65537-hoek valt daardoor vrijwel samen met zijn omgeschreven cirkel.

Construeerbaarheid

Het getal ${\displaystyle 65537}$ is een zogenoemd Fermat-priemgetal, omdat het een priemgetal is en omdat:

${\displaystyle 65537={{2}^{{2}^{4}}}+1}$

Op grond van de stelling van Gauss-Wantzel is een regelmatige 65537-hoek te construeren met passer en (ongemerkte) liniaal.^[2] Uiteraard is de constructie van een dergelijke veelhoek gecompliceerd. De eerste die de constructie heeft uitgevoerd, was Johann Gustav Hermes (1846-1912, Duitsland), een wiskundige die op het onderzoek van priemgetallen in 1878 was gepromoveerd.^[3] Hij heeft 10 jaar (1879-1889) over de beschrijving van de constructie gedaan.^[4][5]

65537-gram

Een 65537-gram is een 65537-zijdige regelmatige sterveelhoek. Omdat 65537 een priemgetal is, zijn er 32767 verschillende regelmatige vormen van 65537-grammen, die kunnen worden vastgelegd via het zogeheten Schläfli-symbool ${\displaystyle \{65537/n\}}$ voor alle getallen ${\displaystyle n}$ met ${\displaystyle 2\leq n\leq 32768}$.^[6]

Bronnen

• (en) Mathematics Genealogy Project – Johann Gustav Hermes
• George E. Martin (1998): Geometric constructions. New York (USA): Springer-Verlag; pp. 29–51.
• Paul J. Nahin (2006): Dr. Euler’s Fabulous formula: cures many mathematical ills. Princeton (NY, USA): Princeton University Press; pp. 48–53.

Noten