Bessel-funksjon

En Bessel-funksjon er i matematikk løsninger av Bessel-ligningen

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0}$

der α er et vilkårlig, komplekst tall.

Bessel-funksjonene ble først utledet av matematikeren Daniel Bernoulli og senere generalisert av Friedrich Bessel.

Definisjon

Bessel-funksjoner av første og andre type er to lineært uavhengige løsninger av Bessel-ligningen.

Bessel-funksjoner av første type er definert ved:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}$.

der Γ(z) er gammafunksjonen. Dersom α er et heltall er J_α(x) = (-1)ⁿJ_−α(x).

Bessel-funksjoner av andre type er definert ved:

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}}$.

Dersom α er et heltall er Y_α(x) = (-1)ⁿY_−α(x).