Cramers regel

I lineær algebra er Cramers regel et teorem som gir uttrykk for løsningen til et lineært ligningssystem med like mange ukjente som ligninger, i tilfeller der en entydig løsning eksisterer.

Teoremet er oppkalt etter Gabriel Cramer (1704–1752), som i 1750 publiserte teoremet i verket Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (Introduksjon til analyse av algebraiske kurver). Også Colin Maclaurin beskrev metoden i avhandlingen Treatise of Algebra, utgitt i 1748.

Løsningen av ligningssystemet er uttrykt ved hjelp av determinanten til koeffisientmatrisen, samt determinanter til matriser dannet ved å erstatte en kolonne i koeffisientmatrisen med en vektor lik høyresiden i ligningssystemet.

Cramers regel er ikke praktisk for løsning av ligningssystem der antall ukjente er høyt. Teoremet blir sporadisk benyttet som er teoretisk resultat.

Cramers regel for et 2 × 2 system

Et lineært ligninssystem med to ukjente kan skrives på forma

${\displaystyle {\begin{matrix}ax+by&={\color {red}e}\\cx+dy&={\color {red}f}\end{matrix}}.}$

På matriseform skrives ligninssystemet som

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}.}$

De to ukjente x og y er gitt ved Cramers regel som

${\displaystyle x={\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc}}$

${\displaystyle y={\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}.}$

Cramers regel for et 3 × 3 system

Tilsvarende skrives et lineært ligningssystem med tre ukjente som

${\displaystyle {\begin{matrix}ax+by+cz&={\color {red}j}\\dx+ey+fz&={\color {red}k}\\gx+hy+iz&={\color {red}l}\end{matrix}}.}$

Matriseforma er

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}}$

Cramers regel sier at løsningen for de tre ukjente x og y og z er gitt ved

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}.}$

Cramers regel for et generelt system

Et generelt ligningssystem med n ligninger og n ukjente kan skrives på matriseforma

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \,}$

Matrisen A er antatt å være ikke-singulær, slik at determinanten til A er ulik null og en entydig løsning til ligningssystemet eksisterer. Kolonnevektoren x = (x₁, ..., x_n)^T inneholder de ukjente i ligningssystemet.

Cramers regel sier at løsningen av ligningssystemet kan skrives på forma

${\displaystyle x_{k}={\frac {\det A_{k}}{\det A}}\qquad k=1,\ldots ,n\,}$

der A_k er matrisen dannet ved å erstatte kolonne nummer k i matrisen A med kolonnevektoren b.

Litteratur

• C.B.Boyer (1968). A history of mathematics. Princton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-691-02391-3. 

• Fr Fabricius-Bjerre (1977). Lærebog i geometri. I: Analytisk geometri, lineær algebra. Lyngby: Polyteknisk forlag. ISBN 978-8-7502-0439-8.