Kompleks konjugasjon

Denne artikkelen mangler kildehenvisninger, og opplysningene i den kan dermed være vanskelige å verifisere. Kildeløst materiale kan bli fjernet. Helt uten kilder. (10. okt. 2015)

Et komplekskonjugat er resultatet av en operasjon på et komplekst tall. I det komplekse tallsystemet innebærer konjugering å avbilde tallet som dets speiling om den reelle aksen. Komplekskonjugatet av et tall ${\displaystyle \ z=a+bi}$ betegnes med ${\displaystyle {\bar {z}}}$ eller ${\displaystyle z^{*}\,}$ og kan defineres som

${\displaystyle {\bar {z}}={\overline {a+bi}}=a-bi\quad a,b\in \mathbb {R} }$

eller i polarkoordinater

${\displaystyle {\overline {z}}={\overline {re^{i\theta }}}=re^{-i\theta }\quad r\in \mathbb {R} \quad \theta \in [0,2\pi ]}$

Egenskaper

Følgende gjelder for alle komplekse tall ${\displaystyle \ z}$ og ${\displaystyle \ w}$

${\displaystyle {\overline {(z+w)}}={\overline {z}}+{\overline {w}}\!\ }$

${\displaystyle {\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}\!\ }$

${\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}}$ om ${\displaystyle w\neq 0\,}$

${\displaystyle {\overline {z}}=z\!\ }$ om og bare om ${\displaystyle z}$ er et reelt tall.

${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}$

${\displaystyle \arg({\overline {z}})=-\arg(z)}$

${\displaystyle {\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}}$

${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{\ \left|z\right|^{2}}}}$ om ${\displaystyle z\neq 0\,}$

Komplekskonjugering er et av de enkleste eksemplene på en ikke-analytisk funksjon.