Konvergens (matematikk)

Konvergens er i matematikk en egenskap knyttet til uendelige følger, rekker og produkt samt til uekte integral og innebærer at disse har en endelig grenseverdi.^[1] Dersom en uendelig følge har en endelig grenseverdi, sies følgen å være konvergent, og tilsvarende kan en definere en konvergent rekke, et konvergent produkt eller et konvergent uekte integral. Også en matematisk metode kan karakteriseres som konvergent, dersom resultatet av metoden er en konvergent følge.

Det komplementære antonymet til konvergens er divergens.

Begrep som «grenseverdi» og «nærmer seg» er naturlig knyttet til et avstandsmål, og konvergens kan defineres i et metrisk rom, der et slikt avstandsmål er gitt ved metrikken. En kan også definere konvergens i et topologisk rom.

Et konvergenskriterium er en regel som brukes for å avgjøre om en følge, rekke eller integral er konvergent.

Konvergens av uendelige følger i et metrisk rom

En følge ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ i et metrisk rom konverger mot en grenseverdi ${\displaystyle x}$ dersom det for en hver verdi av epsilon ${\displaystyle \epsilon }$ eksisterer et heltall ${\displaystyle N}$ slik at^[2]

${\displaystyle n>N\Rightarrow d(x_{n},x)<\epsilon \ ,}$

der ${\displaystyle d}$ er metrikken. Eksistensen av en grenseverdi kan skrives som

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x\ .}$

For følger av reelle eller komplekse tall brukes ofte metrikken definert ved absoluttverdien:

${\displaystyle d(x_{n},x)=|x_{n}-x|\ .}$

Definisjonen Av konvergens kan kompakt skrives som

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x\iff (\forall \epsilon >0)(\exists N\in \mathbb {N} )(n>N\Rightarrow d(x_{n},x)<\epsilon )\ .}$

Et eksempel på en konvergent følge er gitt ved

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(1+{1 \over n})^{n}=e\ .}$

Grenseverdien er eulertallet e.

Konvergens av følger i et normert vektorrom

I et normert vektorrom er metrikken definert ut fra normen. Konvergens i norm kalles for sterk konvergens.^[3]

Dersom ${\displaystyle V}$ er et normert vektorrom og ${\displaystyle V^{*}}$ er mengden av lineært begrensede funksjonaler på ${\displaystyle V}$, så sier en at en følge ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ konvergerer svakt mot en grense ${\displaystyle x}$ dersom^[4]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }l(x_{n})=l(x)\qquad \forall l\in V^{*}}$

Konvergens av følger i et topologisk rom

I et topologisk rom ${\displaystyle V}$ vil følgen ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ konvergere mot grenseverdien ${\displaystyle x}$, hvis det for hver omegn ${\displaystyle U}$ til ${\displaystyle x}$ gjelder at ${\displaystyle V\setminus U}$ bare inneholder endelig mange elementer fra følgen.^{[trenger referanse]}

Punktvis konvergens

En følge av funksjoner ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ der alle elementene har samme definisjonsmengde og verdiområde er punktvis konvergent dersom det for hvert argument ${\displaystyle x}$ eksisterer en grenseverdi for følgen,^[5] dvs at

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)\qquad \forall x}$

For ikke-trivielle klasser av funksjoner kan punktvis konvergens ikke defineres ved hjelp av en metrikk.^[6] Punktvis konvergens er en svakere form for konvergens enn uniform konvergens. Uniform konvergens vil alltid medføre punktvis konvergens, men ikke omvendt.

I det følgende eksempelet konvergerer følgen punktvis i intervallet [0,1), men ikke uniformt:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x^{n}=0}$

Uniform konvergens

En følge av funksjoner ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$ med samme definisjonsmengde og verdiområde er uniform konvergent med grense ${\displaystyle f(x)}$ dersom det for en hver verdi av epsilon ${\displaystyle \epsilon }$ eksisterer et heltall N, uavhengig av argumentet x, slik at^[5]

${\displaystyle n>N\Rightarrow d(f_{n},f)<\epsilon \,}$

Uniform konvergens medfører at konvergenshastigheten er uavhengig av argumentet ${\displaystyle x}$.

Konvergenshastighet for følger

Generelt kan konvergenshastighet for en konvergent følge være et vilkårlig mål for hastigheten som følgen konvergerer med, for eksempel antall ledd som kreves for å oppnå en viss nøyaktighet. Det eksisterer en rekke definisjoner av konvergenshastighet.

En følge ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ i et metrisk rom som konverger mot ${\displaystyle x}$ sies å ha lineær konvergens med konvergenshastighet ${\displaystyle v}$ dersom

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {d(x_{k+1},x)}{d(x_{k},x)}}=v{\mbox{ der }}v\in (0,1)\ .}$

Følgen sies å konvergere superlineært dersom ${\displaystyle v=0}$ og sublineært dersom den er konvergent, men ${\displaystyle v=1}$.

Generelt sies en rekke å konverger med orden ${\displaystyle q}$ dersom det eksisterer en ${\displaystyle q}$ og en konstant ${\displaystyle v>0}$ slik at

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {d(x_{k+1},x)}{(d(x_{k},x))^{q}}}=v\ .}$

For ${\displaystyle q}$ = 1, 2, 3 har en henholdsvis lineær, kvadratisk og kubisk konvergens. Konstanten ${\displaystyle v}$ kalles den asymptotiske feilkonstanten.^[7]

Konvergens av uendelige rekker

En uendelig rekke definert ved

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

er konvergent dersom følgen av partialsummer er konvergent.^[8] Den m-te partialsummen er definert ved

${\displaystyle s_{m}=\sum _{n=1}^{m}a_{n}\ .}$

Rekken konvergerer dersom følgen ${\displaystyle \{s_{m}\}}$ konvergerer.

Rekken konverger absolutt dersom også den følgende rekken konvergerer:^[9]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|}$

En rekke konvergerer betinget dersom den konvergerer, men ikke konvergerer absolutt.

Konvergensradius for potensrekker

En potensrekker på forma

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}$

er uniformt konvergent dersom argumentet ${\displaystyle x}$ ligger innenfor en sirkel med senter i ${\displaystyle c}$ og radius lik den såkalte konvergensradiusen.^[10]

Rekken i det følgende eksempelet har konvergensradius lik 1:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{x^{n} \over n}}$

Konvergens av uendelige produkt

En uendelig produkt definert ved

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

er konvergent dersom følgen av partialprodukt er konvergent. Den m-te partialproduktet er definert ved

${\displaystyle p_{m}=\prod _{n=1}^{m}a_{n}\,}$

Produktet konvergerer dersom følgen ${\displaystyle \{p_{m}\}}$ konvergerer.

Et kjent eksempel på produkt-konvergens er Wallis' produkt:^[11]

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4\cdot n^{2}}{4\cdot n^{2}-1}}\right)={\frac {\pi }{2}}}$

Konvergens av uekte integral

Et uekte integral er et bestemt integral der en eller flere av integrasjonsgrensene er uendelig, eller der integranden har en singularitet i integrasjonsområdet.^[12] Et uekte integral er konvergent dersom det eksisterer en endelig grenseverdi:

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)dx}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=\lim _{a\to {-\infty }}\int _{a}^{b}f(x)dx+\lim _{c\to \infty }\int _{b}^{c}f(x)dx}$

Konvergens av numeriske metoder

I numerisk analyse kan en iterativ metode brukes for å finne tilnærmete løsninger til et matematisk problem. Metoden karakteriseres som konvergent dersom den produserer en konvergent følge av løsninger.^[13] Konstruksjon av konvergente metoder og studiet av vilkår for konvergens er viktige aktiviteter i numerisk analyse.

Referanser

Litteratur

• W. Rudin (1976). Principles of Mathematical Analysis. Auckland: McGraw-Hill Book Company. ISBN 0-07-085613-3. 
• Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6.