Markovs ulikhet

I sannsynlighetsteori gir Markovs ulikhet en øvre grense for sannsynligheten av at en ikke-negativ stokastisk variabel er større enn en gitt positiv verdi. Ulikheten er oppkalt etter den russiske matematikeren Andrej Andrejevitsj Markov.

Ulikheten

Hvis X er en stokastisk variabel og a > 0, så er

${\displaystyle {\textrm {Pr}}(|X|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {E}}(|X|)}{a}}.}$

Bevis

Hvis A er en hendelse, la I_A være indikatorvariabelen til A. Det vil si at I_A = 1 hvis A skjer, og 0 ellers. Da er

${\displaystyle aI_{(X\geq a)}\leq X.\,}$

Derfor er

${\displaystyle \operatorname {E} (aI_{(|X|\geq a)})\leq \operatorname {E} (|X|).\,}$

Merk at den venstre siden av denne ulikheten er det samme som

${\displaystyle a\operatorname {E} (I_{(|X|\geq a)})=a\Pr(|X|\geq a).\,}$

Dermed har vi at

${\displaystyle a\Pr(|X|\geq a)\leq \operatorname {E} (|X|),\,}$

og siden a > 0, kan vi dividere begge sider med a.

Eksempler

• Markovs ulikhet brukes til å bevise Tsjebysjevs ulikhet.
• Hvis X er en ikke-negativ stokastisk variabel med bare heltallige utfall, noe som ofte forekommer i kombinatorikk, så følger det av Markovs ulikhet at P(X > 0) ≤ E(X), ved å sette a =1.