Element nierozkładalny

Element nierozkładalny – element nieodwracalny pierścienia całkowitego, który nie daje się przedstawić jako iloczyn dwóch elementów nieodwracalnych, tzn. element q {\displaystyle q} pierścienia całkowitego A {\displaystyle A} jest nierozkładalny, gdy jest on nieodwracalny oraz jeżeli q = a b {\displaystyle q=ab} dla pewnych elementów a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} pierścienia A , {\displaystyle A,} to element a {\displaystyle a} albo element b {\displaystyle b} jest odwracalny[1].

Przykład

Jeśli K {\displaystyle K} jest ciałem, to każdy wielomian liniowy jest nierozkładalny w pierścieniu K [ x ] . {\displaystyle K[x].} Na ogół, w pierścieniu K [ x ] {\displaystyle K[x]} istnieją wielomiany nierozkładalne wyższych stopni, np. wielomian x 2 + x + 1 {\displaystyle x^{2}+x+1} jest nierozkładalny w Z 2 [ x ] , Q [ x ] , R [ x ] . {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}[x],\mathbb {Q} [x],\mathbb {R} [x].}

Własności

  • Każdy element stowarzyszony z elementem nierozkładalnym jest nierozkładalny.
  • Każdy element pierwszy jest nierozkładalny.
  • W pierścieniu noetherowskim każdy niezerowy, nieodwracalny element tego pierścienia można przedstawić jako iloczyn elementów nierozkładalnych.
  • W pierścieniu ideałów głównych P {\displaystyle P} element q ∈ P {\displaystyle q\in P} jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy ideał generowany przez ten element, ( q ) {\displaystyle (q)} jest maksymalny, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień ilorazowy P / ( q ) {\displaystyle P/(q)} jest ciałem.

Zobacz też

Przypisy

  1. ↑ nierozkładalny element, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-03-11] .

Bibliografia