Grupa czwórkowa Kleina

Grupa (czwórkowa) Kleina – najmniejsza niecykliczna grupa (abelowa). Oznacza się ją tradycyjnie symbolami V 4 {\displaystyle V_{4}} lub K 4 . {\displaystyle K_{4}.}

Liczebnik w nazwie i oznaczeniach wskazuje liczbę jej elementów (tj. jej rząd) i jest bezpośrednim tłumaczeniem oryginalnej nazwy Vierergruppe (dosł. „czterogrupa”, „grupa czwórkowa”) nadanej przez Felixa Kleina[1], który jako pierwszy opisał jej własności w pracy Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade („Wykłady o ikosaedrze i rozwiązywaniu równań piątego stopnia”) wydanej w 1884 roku[2].

Wszystkie elementy grupy są samoodwrotne. Wyjąwszy element neutralny dowolne dwa elementy grupy dają w złożeniu pozostały trzeci element. Przyjmuje się, że grupa dwuścianu drugiego stopnia ma strukturę grupy Kleina.

Prezentacje

Grupę Kleina definiuje działanie ∘ {\displaystyle \circ } określone na zbiorze czterech (różnych) elementów V 4 = { e , a , b , c } {\displaystyle V_{4}=\{e,a,b,c\}} dane jak w tabeli niżej[3], gdzie element e {\displaystyle e} jest elementem neutralnym.


Tabliczka działania grupy V 4 {\displaystyle V_{4}}
∘ {\displaystyle \circ } e {\displaystyle e} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c}
e {\displaystyle e} e {\displaystyle e} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c}
a {\displaystyle a} a {\displaystyle a} e {\displaystyle e} c {\displaystyle c} b {\displaystyle b}
b {\displaystyle b} b {\displaystyle b} c {\displaystyle c} e {\displaystyle e} a {\displaystyle a}
c {\displaystyle c} c {\displaystyle c} b {\displaystyle b} a {\displaystyle a} e {\displaystyle e}

Można ją opisać również za pomocą dwóch generatorów a , b {\displaystyle a,b} oraz trzech relacji a 2 = e , {\displaystyle a^{2}=e,} b 2 = e {\displaystyle b^{2}=e} i ( a b ) 2 = e ; {\displaystyle (ab)^{2}=e;} innymi słowy grupa Kleina ma prezentację postaci

V 4 = ⟨ a , b ∣ a 2 = b 2 = ( a b ) 2 = e ⟩ . {\displaystyle V_{4}=\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\rangle .}

Wśród innych grup o tożsamej (tj. izomorficznej) z nią strukturze można wymienić (kolejne wymienione elementy odpowiadają odpowiednio wspomnianym na początku elementom e , a , b , c {\displaystyle e,a,b,c} ):

  • iloczyn prosty Z 2 × Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}} (z dodawaniem modulo 2):
    ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) , ( 1 , 1 ) ; {\displaystyle (0,0),\;(0,1),\;(1,0),\;(1,1);}
  • grupa symetrii rombu na płaszczyźnie (który nie jest kwadratem):
    identyczność, symetria względem przekątnej dłuższej, symetria względem przekątnej krótszej i obrót o 180 ∘ ; {\displaystyle 180^{\circ };}
  • podgrupa permutacji grupy symetrycznej S 4 : {\displaystyle S_{4}{:}}
    id , ( 12 ) ( 34 ) , ( 13 ) ( 24 ) , ( 14 ) ( 23 ) . {\displaystyle \operatorname {id} ,\;(12)(34),\;(13)(24),\;(14)(23).}

Można ją również skonstruować na zbiorze { 1 ¯ , 3 ¯ , 5 ¯ , 7 ¯ } {\displaystyle \{{\overline {1}},{\overline {3}},{\overline {5}},{\overline {7}}\}} z operacją mnożenia modulo 8[a]. W tym wypadku a {\displaystyle a} odpowiada 3 ¯ , {\displaystyle {\overline {3}},} b {\displaystyle b} opisuje 5 ¯ {\displaystyle {\overline {5}}} i wreszcie c = a b {\displaystyle c=ab} to istotnie 3 ¯ ⋅ 5 ¯ = 15 ¯ ≡ 7 ¯ . {\displaystyle {\overline {3}}\cdot {\overline {5}}={\overline {15}}\equiv {\overline {7}}.}

Własności

Każdy jej nietrywialny element jest rzędu dwa[1] (nie jest więc grupą cykliczną[b]); grupa jest przemienna (abelowa), co można zauważyć w przedstawionej wyżej tabliczce działania[c].

Grupa Kleina jest jedną z dwóch istotnie (tj. algebraicznie) różnych grup czteroelementowych[d]; druga z nich jest grupą cykliczną[b].

Z teorii Galois wynika, że właśnie obecność grupy Kleina wśród podgrup grupy symetrycznej czwartego stopnia opisującej symetrie wielomianów czwartego stopnia jednej zmiennej zapewnia rozwiązywalność równania czwartego stopnia z jedną niewiadomą przez pierwiastniki (zob. grupa rozwiązalna)[e].

Uwagi

  1. ↑ Zob. podgrupa § Przykłady: Kryterium bycia podgrupą skończoną.
  2. ↑ a b Czteroelementowa grupa cykliczna zawiera element rzędu 4 będący jej generatorem.
  3. ↑ Przemienność działania w grupie Kleina można wywnioskować zaobserwowawszy, że tablica Cayleya jej działania jest symetryczna względem głównej przekątnej.
  4. ↑ Można się o tym przekonać wprost, rozpatrując wszystkie tabliczki działania dla czterech (różnych) elementów, które muszą być kwadratami łacińskimi (ze względu na własność skracania w grupie bądź jednoznaczność rozwiązań równań liniowych w grupie, por. grupa § Własności), przy czym wiersz i kolumna dla działania z elementem neutralnym są ustalone.
  5. ↑ Grupa V 4 {\displaystyle V_{4}} jest podgrupą normalną grupy alternującej A 4 , {\displaystyle A_{4},} przy czym A 4 / V 4 ≃ C 3 {\displaystyle A_{4}/V_{4}\simeq C_{3}} jest abelowa (jako cykliczna). Ponadto podgrupa trywialna E {\displaystyle E} również jest normalna w V 4 , {\displaystyle V_{4},} przy czym V 4 / E ≃ V 4 {\displaystyle V_{4}/E\simeq V_{4}} także jest abelowa. Oznacza to, że ciąg (podnormalny) podgrup E ⊲ V 4 ⊲ A 4 {\displaystyle E\vartriangleleft V_{4}\vartriangleleft A_{4}} ma ilorazy abelowe, czyli podgrupa A 4 {\displaystyle A_{4}} jest rozwiązalna. Tym bardziej rozwiązalna S 4 , {\displaystyle S_{4},} która stanowi przedłużenie wspomnianego ciągu, gdyż podobnie jak poprzednio A 4 ⊲ S 4 {\displaystyle A_{4}\vartriangleleft S_{4}} i S 4 / V 4 ≃ C 2 {\displaystyle S_{4}/V_{4}\simeq C_{2}} jest abelowa. Rozwiązalność równań wynika z zasadniczego twierdzenia teorii Galois.

Przypisy

  1. ↑ a b Gleichgewicht 2004 ↓, s. 34.
  2. ↑ Klein 1884 ↓, s. 12.
  3. ↑ Gleichgewicht 2004 ↓, tabela 2.4, s. 33.

Bibliografia

  • Felix Klein: Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade. Lipsk: B.G. Teubner, 1884. (niem.).
  • Bolesław Gleichgewicht: Algebra. Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2004. ISBN 978-83-89020-35-2.