Logarytm całkowy

Logarytm całkowy – funkcja rzeczywista określona wzorem:

${\displaystyle \mathrm {li} \,x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln |t|}}=\ln {|\ln {|x|}|}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\ln {|x|)^{k}}}{k\cdot k!}}.}$

Całka określająca funkcję jest całką przestępną – nie daje się wyrazić w postaci złożenia skończenie wielu funkcji elementarnych.

Gdy ${\displaystyle x>1,}$ całka w punkcie ${\displaystyle t=1}$ jest rozbieżna. W tym przypadku przez ${\displaystyle \mathrm {li} \,x}$ należy rozumieć wartość główną całki niewłaściwej.

W teorii liczb częściej używa się funkcji ${\displaystyle \mathrm {Li} \,(x)}$ zdefiniowanej następująco:

${\displaystyle \mathrm {Li} (x)=\int \limits _{2}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln |t|}}}$

i nazywanej resztą logarytmu całkowego.

Logarytm całkowy jest związany z funkcją całkowo-wykładniczą zależnością:

${\displaystyle \mathrm {li} \,x=\mathrm {ei} (\ln {|x|})}$

Zobacz też

• sinus i cosinus całkowy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Logarithmic Integral, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-05-31].
• Integral logarithm (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].