Nierówność Czebyszewa

Ten artykuł dotyczy szczególnego przypadku nierówności Markowa. Zobacz też: Nierówność Czebyszewa-Bienayme.

Nierówność Czebyszewa podaje górne ograniczenie prawdopodobieństwa zdarzenia, że wartość nieujemnej zmiennej losowej jest większa lub równa od z góry ustalonej dodatniej liczby. Nazwana na cześć Pafnutija Czebyszewa.

Jedynym warunkiem na rozkład zmiennej losowej jest jej nieujemność (ściślej: zerowe prawdopodobieństwo P { X < 0 } {\displaystyle P\{X<0\}} ) Nierówność ta jest więc bardzo ogólnym ograniczeniem. Nierówność Czebyszewa-Bienayme jest odpowiednikiem nierówności Czebyszewa także dla zmiennych niespełniających tego warunku i często również jest nazywana po prostu nierównością Czebyszewa, co może prowadzić do nieporozumień.

Twierdzenie

Niech X {\displaystyle X} będzie zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej ( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} taką, że P { X < 0 } = 0 , {\displaystyle P\{X<0\}=0,} zaś E ( X ) {\displaystyle E(X)} jest jej wartością oczekiwaną. Wówczas dla każdego ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} zachodzi:

P { X ⩾ ε } ⩽ E ( X ) ε . {\displaystyle P\left\{X\geqslant \varepsilon \right\}\leqslant {\frac {E(X)}{\varepsilon }}.}

Dowód

Z prawdopodobieństwem 1 zachodzą następujące nierówności:

X ⩾ X ⋅ 1 { X ⩾ ε } ⩾ ε ⋅ 1 { X ⩾ ε } , {\displaystyle X\geqslant X\cdot \mathbf {1} _{\{X\geqslant \varepsilon \}}\geqslant \varepsilon \cdot \mathbf {1} _{\{X\geqslant \varepsilon \}},}

gdzie 1 A {\displaystyle \mathbf {1} _{A}} jest funkcją wskaźnikową zdarzenia A , {\displaystyle A,} zdefiniowaną jako:

1 A ( x ) = { 0 d l a   x ∉ A 1 d l a   x ∈ A . {\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)={\begin{cases}0\quad dla\ x\notin A\\1\quad dla\ x\in A\end{cases}}.}

Pierwsza z nierówności wynika w oczywisty sposób z następujących dwóch nierówności (z których pierwsza zachodzi z prawdopodobieństwem 1):

X ⩾ 0 {\displaystyle X\geqslant 0} oraz 1 ⩾ 1 A . {\displaystyle 1\geqslant \mathbf {1} _{A}.}

Druga nierówność przyjmuje postać:

X ⋅ 1 { X ⩾ ε } ⩾ ε ⋅ 1 { X ⩾ ε } ⟺ { 0 ⩾ 0 d l a   X ⩾̸ ε X ⩾ ε d l a   X ⩾ ε , {\displaystyle X\cdot \mathbf {1} _{\{X\geqslant \varepsilon \}}\geqslant \varepsilon \cdot \mathbf {1} _{\{X\geqslant \varepsilon \}}\iff {\begin{cases}0\geqslant 0\quad dla\ X\not \geqslant \varepsilon \\X\geqslant \varepsilon \quad dla\ X\geqslant \varepsilon \end{cases}},}

czyli jest oczywista.

Biorąc wartości oczekiwane powyższych zmiennych losowych i korzystając z elementarnych własności wartości oczekiwanej, otrzymujemy łańcuszek nierówności:

E ( X ) ⩾ E ( X ⋅ 1 { X ⩾ ε } ) ⩾ E ( ε ⋅ 1 { X ⩾ ε } ) = ε ⋅ E ( 1 { X ⩾ ε } ) = ε ⋅ ∫ Ω 1 { X ⩾ ε } d P = ε ⋅ P { X ⩾ ε } . {\displaystyle E(X)\geqslant E(X\cdot \mathbf {1} _{\{X\geqslant \varepsilon \}})\geqslant E(\varepsilon \cdot \mathbf {1} _{\{X\geqslant \varepsilon \}})=\varepsilon \cdot E(\mathbf {1} _{\{X\geqslant \varepsilon \}})=\varepsilon \cdot \int \limits _{\Omega }\mathbf {1} _{\{X\geqslant \varepsilon \}}dP=\varepsilon \cdot P\{X\geqslant \varepsilon \}.}

Ostatnia równość wynika z definicji całki Lebesgue’a z funkcji wskaźnikowej. Dzieląc skrajne wyrazy przez ε , {\displaystyle \varepsilon ,} otrzymujemy nierówność Czebyszewa.

Z nierówności Czebyszewa wynikają nierówności: Markowa, Czebyszewa-Bienayme, wykładnicza Czebyszewa.

Zobacz też

Kontrola autorytatywna (twierdzenie):
  • LNB: 000327250