Pierścień z jedynką

Pierścień z jedynką – pierścień, w którym istnieje element neutralny mnożenia, nazwany jedynką.

Jedynka pierścienia R {\displaystyle R} oznaczana jako 1 {\displaystyle 1} spełnia więc warunek, który formalnie można zapisać

a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a {\displaystyle a\cdot 1=1\cdot a=a} dla każdego elementu a {\displaystyle a} pierścienia R . {\displaystyle R.}

Innymi słowy, pierścień z jedynką jest monoidem ze względu na mnożenie. Jeśli pierścień nie jest pierścieniem trywialnym (tzn. ma co najmniej 2 elementy), to 1 ≠ 0. {\displaystyle 1\neq 0.} Jeśli f : R → S {\displaystyle f\colon R\to S} jest homomorfizmem pierścieni z jedynką i 1 {\displaystyle 1} jest jedynką pierścienia R , {\displaystyle R,} to f ( 1 ) {\displaystyle f(1)} jest jedynką pierścienia S . {\displaystyle S.} W pierścieniach z jedynką istnieje przynajmniej jeden ideał maksymalny (twierdzenie Krulla).

Dołączanie jedynki do pierścienia

Dowolny pierścień R {\displaystyle R} można zanurzyć w pewnym pierścieniu z jedynką. W tym celu wystarczy w iloczynie kartezjańskim Z × R {\displaystyle \mathbb {Z} \times R} zdefiniować dwa działania:

( n 1 , r 1 ) + ( n 2 , r 2 ) = ( n 1 + n 2 , r 1 + r 2 ) , {\displaystyle (n_{1},r_{1})+(n_{2},r_{2})=(n_{1}+n_{2},r_{1}+r_{2}),}
( n 1 , r 1 ) ⋅ ( n 2 , r 2 ) = ( n 1 n 2 , n 1 r 2 + n 2 r 1 + r 1 r 2 ) . {\displaystyle (n_{1},r_{1})\cdot (n_{2},r_{2})=(n_{1}n_{2},n_{1}r_{2}+n_{2}r_{1}+r_{1}r_{2}).}

Łatwo sprawdzić, że struktura R ^ = Z × R {\displaystyle {\hat {R}}=\mathbb {Z} \times R} z powyższymi działaniami jest pierścieniem oraz że para ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} jest jego jedynką.

Łatwo również zauważyć, że zbiór

{ ( 0 , r ) : r ∈ R } {\displaystyle \{(0,r):r\in R\}}

jest podpierścieniem pierścienia R ^ {\displaystyle {\hat {R}}} izomorficznym z R . {\displaystyle R.} Izomorfizm ten realizuje więc zanurzenie R {\displaystyle R} w R ^ . {\displaystyle {\hat {R}}.} Pierścień R {\displaystyle R} jest przy tym ideałem pierścienia R ^ . {\displaystyle {\hat {R}}.}

Jeśli oznaczyć ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} jako 1 , {\displaystyle 1,} to ( n , r ) {\displaystyle (n,r)} gdzie n ∈ Z {\displaystyle n\in \mathbb {Z} } oraz r ∈ R , {\displaystyle r\in R,} można zapisać w postaci n ⋅ 1 + r . {\displaystyle n\cdot 1+r.}

Zobacz też