Przekształcenie Abela

Przekształcenie Abela (tożsamość Abela) – tożsamość algebraiczna zachodząca dla skończonych ciągów liczbowych (bądź ogólniej, elementów pierścienia przemiennego).

Niech ( a j ) j = 1 n , {\displaystyle (a_{j})_{j=1}^{n},} ( b j ) j = 1 n {\displaystyle (b_{j})_{j=1}^{n}} będą ciągami liczbowymi.

Oznaczmy

A n = ∑ i = 1 n a i . {\displaystyle A_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}.}

Wówczas zachodzi wzór:

∑ j = m + 1 m + k a j b j = ∑ l = m + 1 m + k A l ( b l − b l + 1 ) − A m b m + 1 + A m + k b m + k + 1 . {\displaystyle \sum _{j=m+1}^{m+k}a_{j}b_{j}=\sum _{l=m+1}^{m+k}A_{l}(b_{l}-b_{l+1})-A_{m}b_{m+1}+A_{m+k}b_{m+k+1}.}

W szczególności, gdy m = 0 , {\displaystyle m=0,} b k + 1 = 0 : {\displaystyle b_{k+1}=0{:}}

∑ j = 1 k a j b j = ∑ l = 1 k − 1 A l ( b l − b l + 1 ) + A k b k . {\displaystyle \sum _{j=1}^{k}a_{j}b_{j}=\sum _{l=1}^{k-1}A_{l}(b_{l}-b_{l+1})+A_{k}b_{k}.}

Dowód

Dla każdego l ⩽ n {\displaystyle l\leqslant n} mamy

a l b l = ( A l − A l − 1 ) b l = A l ( b l − b l + 1 ) + A l b l + 1 − A l − 1 b l . {\displaystyle a_{l}b_{l}=(A_{l}-A_{l-1})b_{l}=A_{l}(b_{l}-b_{l+1})+A_{l}b_{l+1}-A_{l-1}b_{l}.}

Po zsumowaniu i zredukowaniu wyrazów występujących w kolejnych wyrażeniach z przeciwnymi znakami otrzymujemy tezę.

Wnioski

Jeśli b n {\displaystyle b_{n}} jest ciągiem nierosnącym nieujemnym, to spełniona jest nierówność:

| ∑ i = 1 n a i b i | ⩽ A b 1 {\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|\leqslant Ab_{1}}

gdzie:

A = max ( | a 1 | , | a 1 + a 2 | , … , | ∑ i = 1 n a i | ) . {\displaystyle A=\max \left(|a_{1}|,|a_{1}+a_{2}|,\dots ,\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right|\right).}

Bibliografia

  • Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
  • Lev Kourliandtchik: Wędrówki po krainie nierówności. Toruń: Wydawnictwo Aksjomat, 2000. ISBN 83-87329-11-8.

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Summation by Parts, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].
  • publikacja w otwartym dostępie – możesz ją przeczytać Abel transformation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].