Tensor momentu bezwładności

Ten artykuł od 2018-03 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Tensor momentu bezwładności – tensor drugiego rzędu opisujący moment bezwładności. Występuje on w równaniu wiążącym moment pędu z prędkością kątową dla danego ciała

${\displaystyle {\vec {L}}={\hat {I}}{\vec {\omega }},}$

gdzie:

${\displaystyle {\vec {L}}}$ – moment pędu,

${\displaystyle {\hat {I}}}$ – tensor momentu bezwładności,

${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ – prędkość kątowa.

Tensor bezwładności zapisany jako macierz wygląda następująco

${\displaystyle \mathbf {I} ={\begin{bmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{bmatrix}}.}$

Współczynniki diagonalne (leżące na głównej przekątnej) nazywamy momentami głównymi, natomiast pozadiagonalne momentami dewiacji.

Wartości współczynników tensora momentu bezwładności, w przypadku dyskretnego rozkładu masy, definiuje się przez

${\displaystyle I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k}m_{k}(r_{k}^{2}\delta _{ij}-r_{ki}r_{kj}),}$

gdzie:

${\displaystyle \delta _{ij}}$ jest deltą Kroneckera,

${\displaystyle r_{k1}=x_{k},}$ ${\displaystyle r_{k2}=y_{k},}$ ${\displaystyle r_{k3}=z_{k},}$

${\displaystyle r_{k}}$ – odległość punktu od początku układu współrzędnych, spełnia on zależność:

${\displaystyle r_{k}^{2}=x_{k}^{2}+y_{k}^{2}+z_{k}^{2}.}$

Rozpisując powyższy wzór na składowe, otrzymujemy wzory na momenty główne

${\displaystyle I_{xx}=\sum _{k}m_{k}(y_{k}^{2}+z_{k}^{2})=\sum _{k}m_{k}(r_{k}^{2}-x_{k}^{2}),}$

${\displaystyle I_{yy}=\sum _{k}m_{k}(z_{k}^{2}+x_{k}^{2})=\sum _{k}m_{k}(r_{k}^{2}-y_{k}^{2}),}$

${\displaystyle I_{zz}=\sum _{k}m_{k}(x_{k}^{2}+y_{k}^{2})=\sum _{k}m_{k}(r_{k}^{2}-z_{k}^{2})}$

oraz momenty dewiacyjne

${\displaystyle I_{xy}=I_{yx}=-\sum _{k}m_{k}x_{k}y_{k},}$

${\displaystyle I_{yz}=I_{zy}=-\sum _{k}m_{k}y_{k}z_{k},}$

${\displaystyle I_{zx}=I_{xz}=-\sum _{k}m_{k}z_{k}x_{k},}$

gdzie:

${\displaystyle x_{k},}$ ${\displaystyle y_{k},}$ ${\displaystyle z_{k}}$ – składowe wektora wodzącego ${\displaystyle k}$-tego punktu,

${\displaystyle m_{k}}$ – masa ${\displaystyle k}$-tego punktu.

Postać dla rozkładu ciągłego z gęstością masy ${\displaystyle \rho (x,y,z)}$ o objętości ${\displaystyle V{:}}$

${\displaystyle I_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int \limits _{V}\rho (x,y,z)(r^{2}\delta _{ij}-r_{i}r_{j})dv.}$

Tensor ten jest tensorem symetrycznym (jego macierz jest symetryczna).

Suma składników diagonalnych jest niezależna od wyboru kierunku osi układu współrzędnych. Dowód dla układu punktów:

${\displaystyle I_{xx}+I_{yy}+I_{zz}=\sum _{k}m_{k}(y_{k}^{2}+z_{k}^{2})+\sum _{k}m_{k}(z_{k}^{2}+x_{k}^{2})+\sum _{k}m_{k}(x_{k}^{2}+y_{k}^{2})=2\sum _{k}m_{k}r_{k}^{2}.}$

Zobacz też

• elipsoida bezwładności

Linki zewnętrzne

• Bryła sztywna. [dostęp 2014-02-21].