Wielomiany Czebyszewa

Wielomiany Czebyszewa – układ wielomianów ortogonalnych tworzący bazę przestrzeni wielomianów; nazwa pochodzi od nazwiska Pafnutija Czebyszowa.

Wielomiany Czebyszewa pierwszego rodzaju

Definicja rekurencyjna

Wielomiany te spełniają zależność^[1]:

${\displaystyle T_{0}(x)=1}$

${\displaystyle T_{1}(x)=x}$

${\displaystyle T_{k}(x)=2x\cdot T_{k-1}(x)-T_{k-2}(x)}$

Postać jawna

Rozwiązaniem powyższej rekurencji jest:

${\displaystyle T_{k}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}}{2}}.}$

Parzystość wielomianów Czebyszewa

Z definicji wynika, że dla k parzystego wielomian Czebyszewa ${\displaystyle k}$-tego stopnia jest parzysty, dla nieparzystego k – nieparzysty:

${\displaystyle T_{k}(-x)=(-1)^{k}T_{k}(x).}$

Postać trygonometryczna

Dla ${\displaystyle x\in [-1;1]}$ podstawiając za ${\displaystyle x=\cos \,t,}$ dla ${\displaystyle k=0,1,2,\dots }$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{k}(\cos \,t)&={\frac {(\cos \,t+{\sqrt {\cos ^{2}t-1}})^{k}+(\cos \,t-{\sqrt {\cos ^{2}t-1}})^{k}}{2}}\\&={\frac {(\cos \,t+{\sqrt {-\sin ^{2}t}})^{k}+(\cos \,t-{\sqrt {-\sin ^{2}t}})^{k}}{2}}\\&={\frac {(\cos \,t+i\cdot \sin \,t)^{k}+(\cos \,t-i\cdot \sin \,t)^{k}}{2}}\end{aligned}}}$

gdzie ${\displaystyle i^{2}=-1.}$

Po zastosowaniu wzoru de Moivre’a na k-tą potęgę liczby zespolonej otrzymuje się:

${\displaystyle T_{k}(\cos \,t)=\cos kt.}$

Wracając do zmiennej ${\displaystyle x{:}}$ ${\displaystyle t=\arccos x}$

${\displaystyle T_{k}(x)=\cos(k\,\arccos(x)).\qquad {}}$ (*)

Jest to tzw. postać trygonometryczna wielomianu Czebyszewa, gdyż wyraża wielomian Czebyszewa ${\displaystyle k}$-tego stopnia przez funkcję trygonometryczną ${\displaystyle \cos }$ i jej odwrotność ${\displaystyle \arccos .}$ Korzystając z własności funkcji trygonometrycznych, można wykazać, że (*) jest w zależności od argumentu ${\displaystyle x}$ równe:

${\displaystyle T_{k}(x)={\begin{cases}\cos(k\arccos x),&x\in [-1,1]\\[2px]\cosh(k\,\operatorname {arcosh} (x)),&x\geqslant 1\\[2px](-1)^{k}\cosh(k\,\operatorname {arcosh} (-x)),&x\leqslant -1\end{cases}}}$

Można wykazać, że

${\displaystyle \cos(k\,t)={\frac {e^{ik\,t}+e^{-ik\,t}}{2}}={\frac {(e^{i\,t})^{k}+(e^{i\,t})^{-k}}{2}},}$

ponieważ zachodzi

${\displaystyle e^{i\,t}=\cos(t)+i\sin(t)}$

oraz

${\displaystyle \sin(t)={\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}}$

zachodzi

${\displaystyle e^{i\,t}=\cos(t)+{\sqrt {\cos ^{2}(t)-1}},}$

a stąd

${\displaystyle \cos(k\,t)={\frac {(\cos(t)+{\sqrt {\cos ^{2}(t)-1}})^{k}+(\cos(t)+{\sqrt {\cos ^{2}(t)-1}})^{-k}}{2}}}$

podstawiają za ${\displaystyle \cos(t)}$ x, otrzymuje się

${\displaystyle T_{k}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{k}+(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{-k}}{2}}.}$

Zera wielomianów Czebyszewa

 Osobny artykuł: Węzły Czebyszewa.

Wielomian Czebyszewa ${\displaystyle T_{k}(x)}$ posiada k zer rzeczywistych należących do ${\displaystyle [-1;1]}$ danych wzorem:

${\displaystyle x_{j}=\cos \left({\frac {2j-1}{2k}}\,\pi \right),\quad j=1,2,\dots ,k.}$

Ortogonalność

Wielomiany Czebyszewa tworzą układ ortogonalny w przestrzeni ${\displaystyle L_{p}^{2}[-1,1]}$ z funkcją wagową ${\displaystyle w(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}{:}}$

${\displaystyle {}\,\int \limits _{-1}^{1}T_{k}(x)T_{j}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\left\{{\begin{aligned}&0&&:k\neq j\\&\pi &&:k=j=0\\&\pi /2&&:k=j\neq 0\end{aligned}}\right.}$

Dowód

${\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =\int \limits _{-1}^{1}{\frac {T_{k}(x)\cdot T_{j}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx=\int \limits _{-1}^{1}{\frac {\cos(k\cdot \arccos(x))\cdot \cos(j\cdot \arccos(x))}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx.}$

Zastosujmy podstawienie ${\displaystyle t=\arccos(x).}$ Mamy wówczas ${\displaystyle {\frac {dt}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$ oraz ${\displaystyle x=\cos(t).}$ Stosując we wcześniejszym wzorze:

${\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =-\int \limits _{\pi }^{0}{\frac {\cos(k\cdot t)\cdot \cos(j\cdot t)}{\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}}{\sqrt {1-\cos ^{2}(t)}}dt=\int \limits _{0}^{\pi }\cos(k\cdot t)\cdot \cos(j\cdot t)dt.}$

Korzystając ze wzoru trygonometrycznego ${\displaystyle \cos(\alpha )\cdot \cos(\beta )={\frac {1}{2}}[\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )]}$ dostajemy

${\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {1}{2}}[\cos((k-j)t)+\cos((k+j)t)]dt={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k-j)t)dt+{\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }\cos((k+j)t)dt.}$

Załóżmy w tym momencie, że ${\displaystyle k\neq j}$ i rozpatrzmy obie całki osobno.

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\pi }\cos((k-j)t)dt={\frac {1}{k-j}}\int \limits _{0}^{(k-j)\pi }\cos(t)dt={\frac {1}{k-j}}[\sin(t)]_{0}^{(k-j)\pi }=0.}$

Analogicznie:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\pi }\cos((k+j)t)dt={\frac {1}{k+j}}\int \limits _{0}^{(k+j)\pi }\cos(t)dt={\frac {1}{k+j}}[\sin(t)]_{0}^{(k+j)\pi }=0.}$

Zatem:

${\displaystyle \langle T_{k},T_{j}\rangle =0.}$

Widać, że założenie, iż ${\displaystyle k\neq j}$ jest istotne, ponieważ w przeciwnym wypadku otrzymalibyśmy 0 w mianowniku.

Powyższe równania dowodzą, że wielomiany Czebyszewa są wzajemnie prostopadłe.

Teraz rozważmy przypadek, kiedy ${\displaystyle j=k\neq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle T_{k},T_{k}\rangle &={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }[\cos((k-k)t)+\cos((k+k)t)]dt\\&={\frac {1}{2}}\int \limits _{0}^{\pi }[1+\cos(2kt)]dt\\&={\frac {\pi }{2}}+\int \limits _{0}^{\pi }\cos(2kt)dt\\&={\frac {\pi }{2}}+{\frac {1}{2k}}\int \limits _{0}^{2k\pi }\cos(t)dt\\&={\frac {\pi }{2}}\end{aligned}}}$

W przypadku ${\displaystyle k=j=0}$ dostajemy ${\displaystyle \langle T_{0},T_{0}\rangle =\pi }$ co kończy dowód.

Przykłady wielomianów Czebyszewa

Dziesięć pierwszych wielomianów Czebyszewa:

${\displaystyle T_{0}(x)=1}$

${\displaystyle T_{1}(x)=x}$

${\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1}$

${\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x}$

${\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1}$

${\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x}$

${\displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1}$

${\displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x}$

${\displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1}$

${\displaystyle T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.}$

Własności

Twierdzenie o minimaksie mówi, że unormowany (mający współczynnik 1 przy najwyższej potędze) wielomian Czebyszewa ${\displaystyle {\frac {1}{2^{k-1}}}T_{k}(x)}$ ma na odcinku ${\displaystyle [-1;1]}$ najmniejszą normę jednostajną (maksymalną wartość absolutną), spośród wszystkich wielomianów stopnia k, o współczynniku wiodącym równym jeden. Czyli dla dowolnego wielomianu postaci:

${\displaystyle w_{k}(x)=x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}$

zachodzi nierówność:

${\displaystyle \max _{x\in [-1;1]}|w_{k}(x)|\geqslant \max _{x\in [-1;1]}|{\frac {1}{2^{k-1}}}T_{k}(x)|.}$

Wiedząc, że dla każdego ${\displaystyle x\in [-1;1]}$ wielomian ${\displaystyle T_{k}(x)}$ przyjmuje wszystkie wartości z ${\displaystyle [-1;1],}$ możemy napisać:

${\displaystyle \max _{x\in [-1;1]}|w_{k}(x)|\geqslant {\frac {1}{2^{k-1}}}.}$

Zastosowania

Przy interpolacji wielomianowej często zamiast równoodległych węzłów, używa się węzłów Czebyszewa, leżących w zerach wielomianów Czebyszewa. Pozwala to uniknąć tak zwanego efektu Rungego, czyli dużych oscylacji wielomianu interpolacyjnego przy krańcach przedziału. Fakt, że miejsca zerowe wielomianów Czebyszewa zagęszczają się ku krańcom przedziału, pozwala lepiej związać wielomian, zapobiegając naturalnym dla wielomianów wysokiego rzędu oscylacjom.

Wielomiany Czebyszewa drugiego rodzaju

Definicja rekurencyjna

${\displaystyle U_{0}(x)=1}$

${\displaystyle U_{1}(x)=2x}$

${\displaystyle U_{k}(x)=2x\cdot U_{k-1}(x)-U_{k-2}(x)}$

Funkcja wagowa iloczynu skalarnego: ${\displaystyle \rho (x)={\sqrt {1-x^{2}}}.}$

Zobacz też

• formuła trójczłonowa
• wielomiany Hermite’a
• wielomiany Laguerre’a
• wielomiany Legendre’a

Przypisy