Wielomiany Zernikego

Wielomiany Zernikego są zbiorem wielomianów ortogonalnych wewnątrz koła jednostkowego wprowadzonych przez Fritsa Zernike.

Definicja

Wielomiany Zernikego zdefiniowane są w postaci zespolonej:

${\displaystyle V_{n}^{\pm m}(\rho ,\theta )=R_{n}^{m}(\rho )\,\exp(\pm jm\theta ),}$

gdzie:

${\displaystyle n,m}$ są liczbami naturalnymi takimi, że ${\displaystyle 0\leqslant m\leqslant n,}$ oraz ${\displaystyle n-m}$ jest parzyste,

${\displaystyle \rho ,\theta }$ są współrzędnymi biegunowymi punktu (odpowiednio długością promienia wodzącego i wartością kąta skierowanego).

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$ jest wielomianem radialnym postaci:

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{s=0}^{\frac {n-m}{2}}(-1)^{s}{\frac {(n-s)!}{s!({\frac {n+m}{2}}-s)!({\frac {n-m}{2}}-s)!}}\rho ^{n-2s}.}$

Czasami spotyka się również definicję wielomianów Zernikego w postaci rzeczywistej. Wyróżnia się parzyste i nieparzyste wielomiany Zernikego

${\displaystyle Z_{n}^{m}(\rho ,\theta )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\theta )}$ – wielomian parzysty,

${\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\theta )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\theta )}$ – wielomian nieparzysty.

Przykłady

Kolejne wielomiany Zernike mają rozwinięcie

${\displaystyle V_{0}^{0}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle V_{1}^{1}}$	${\displaystyle \rho \exp(j\theta )}$
${\displaystyle V_{2}^{0}}$	${\displaystyle 2\rho ^{2}-1}$
${\displaystyle V_{2}^{2}}$	${\displaystyle \rho ^{2}\ \exp(j2\theta )}$
${\displaystyle V_{3}^{1}}$	${\displaystyle (3\rho ^{3}-2\rho )\ \exp(j\theta )}$
${\displaystyle V_{3}^{3}}$	${\displaystyle \rho ^{3}\ \exp(j3\theta )}$
${\displaystyle V_{4}^{0}}$	${\displaystyle 6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1}$
${\displaystyle V_{4}^{2}}$	${\displaystyle (4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\ \exp(j2\theta )}$
${\displaystyle V_{4}^{4}}$	${\displaystyle \rho ^{4}\ \exp(j4\theta )}$

Mapy jasności niektórych wielomianów Zernikego:

	${\displaystyle V_{2}^{0}}$	${\displaystyle V_{2}^{2}}$	${\displaystyle V_{3}^{1}}$	${\displaystyle V_{3}^{3}}$	${\displaystyle V_{4}^{0}}$
Część rzeczywista
Część urojona

Własności

Wielomiany radialne są ortogonalne:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}\rho R_{n}^{m}(\rho )\ R_{n'}^{m}(\rho )\ d\rho ={\frac {1}{2(n+1)}}\delta _{nn'}}$

gdzie ${\displaystyle \delta _{nn'}}$ oznacza deltę Kroneckera. Podobnie, ortogonalność zachodzi dla wielomianów Zernikego:

${\displaystyle \iint \rho [V_{n}^{m}(\rho ,\theta )]^{*}\ V_{p}^{q}(\rho ,\theta )\ d\rho d\theta ={\frac {\pi }{n+1}}\delta _{nm}\delta _{pq}}$

Wielomiany te posiadają również własność rotacyjną

${\displaystyle V_{n}^{m}(\rho ,\theta +\alpha )=V_{n}^{m}(\rho ,\theta )\exp(jm\alpha )}$

co oznacza, że ich moduł jest niezależny od obrotu:

${\displaystyle |V_{n}^{m}(\rho ,\theta +\alpha )|=|V_{n}^{m}(\rho ,\theta )|.}$

Sprzężenie wielomianu Zernikego ma wartość:

${\displaystyle (V_{n}^{m}(\rho ,\theta ))^{*}=V_{n}^{-m}(\rho ,\theta )}$

Zastosowanie

W optyce, wielomiany Zernikego stosuje się do opisu aberracji soczewek.

Wielomiany Zernikego znalazły też zastosowanie w cyfrowym przetwarzaniu obrazów, do dekompozycji obrazów na tzw. momenty Zernikego.

Zobacz też

• wielomiany Legendre’a

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Zernike Polynomial, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13]  (ang.).
• James C. Wyant: „Zenike Polyniomials”. optics.arizona.edu. [zarchiwizowane z tego adresu (2006-09-06)]. (en.)