Wzory Freneta

Wzory Fréneta, wzory Fréneta-Serreta – wzory wyrażające zależności pomiędzy wektorami tworzącymi krawędzie tzw. trójścianu Freneta, zaczepionymi w pewnym punkcie badanej krzywej i określającymi jej geometryczne własności przestrzenne w tym punkcie.

Zapis wektorowy

W zapisie wektorowym wzory Freneta mają następującą postać

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {t} ,\quad |\mathbf {t} |=1,}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {t} }{ds}}={\frac {1}{\rho }}\,\mathbf {n} =\mathbf {N} }$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {n} }{ds}}=-{\frac {1}{\rho }}\mathbf {t} -{\frac {1}{\tau }}\mathbf {b} }$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {b} }{ds}}={\frac {1}{\tau }}\,\mathbf {n} }$

gdzie^[1]:

${\displaystyle s}$ – parametr naturalny krzywej (długość łuku),

${\displaystyle \mathbf {r} }$ – wektor wodzący punktu na krzywej,

${\displaystyle \mathbf {t} }$ – wektor styczny,

${\displaystyle \mathbf {n} \;(=\rho \mathbf {N} )}$ – wektor normalnej głównej,

${\displaystyle \mathbf {b} \;(=\rho \mathbf {H} )}$ – wektor binormalny,

${\displaystyle \mathbf {N} }$ – wektor krzywizny,

${\displaystyle \rho }$ – promień krzywizny,

${\displaystyle \kappa \;(={\tfrac {1}{\rho }})}$ – krzywizna krzywej,

${\displaystyle \tau }$ – promień torsji krzywej (promień drugiej krzywizny),

${\displaystyle T\;(={\tfrac {1}{\tau }})}$ – torsja krzywej (druga krzywizna),

${\displaystyle \mathbf {H} (A,B,C),\,\mathbf {G} (L,M,N)}$ – wektory normalne płaszczyzn: ściśle stycznej i prostującej.

Z punktem ${\displaystyle P}$ na krzywej przestrzennej ${\displaystyle K}$ można związać dwa lokalne układy ortogonalnych osi liczbowych. Pierwszy z nich jest nieruchomy, prawoskrętny i określony przez wersory ${\displaystyle \mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} .}$ Drugi prawoskrętny układ wersorów ${\displaystyle \mathbf {t} ,\,\mathbf {n} ,\,\mathbf {b} }$ jest związany z krzywą i określa trzy istotne kierunki: styczny, normalny i binormalny. Dwa pierwsze wyznaczone są przez wersory

${\displaystyle \mathbf {t} =\mathbf {r} ^{'}=x^{'}\mathbf {i} +y^{'}\mathbf {j} +z^{'}\mathbf {k} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =\rho \,\mathbf {t} ^{'}=\rho \,(x^{''}\mathbf {i} +y^{''}\mathbf {j} +z^{''}\mathbf {k} ),\quad \mathbf {t} ^{'}=\mathbf {N} ,}$

(1.1)

gdzie:

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2}+(z^{''})^{2}}}},}$

(1.2)

a trzeci jest definiowany^[1] wzorem

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} &=\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x^{'}&y^{'}&z^{'}\\\rho x^{''}&\rho y^{''}&\rho z^{''}\end{vmatrix}}\\[1ex]&=\rho {\Big [}(y^{'}z^{''}-z^{'}y^{''})\,\mathbf {i} +(z^{'}x^{''}-x^{'}z^{''})\,\mathbf {j} \\[1ex]&\quad +(x^{'}y^{''}-y^{'}x^{''})\,\mathbf {k} {\Big ]}\\[1ex]&=\rho \,{\big (}A\,\mathbf {i} +B\,\mathbf {j} +C\,\mathbf {k} {\big )}=\rho \mathbf {H} .\end{aligned}}}$

(1.3)

Jeżeli krzywa ${\displaystyle S}$ leży na płaszczyźnie ${\displaystyle \pi }$ o normalnej ${\displaystyle \mathbf {w} ,}$ to wektor binormalnej ${\displaystyle \mathbf {b} }$ do tej krzywej w każdym jej punkcie jest stały i ${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {w} .}$ Płaszczyzna ${\displaystyle \pi }$ jest w tym przypadku płaszczyzną ściśle styczną dla dowolnego punktu krzywej ${\displaystyle S.}$

W analizie przestrzennych właściwości krzywych istotną rolę odgrywają pochodne wersorów krawędzi trójścianu Freneta.

Na podstawie wzoru (1.1) mamy

${\displaystyle \mathbf {t} ^{'}=\mathbf {N} ={\tfrac {1}{\rho }}\mathbf {n} }$

(1.4)

i różniczkując wzór (1.3), otrzymujemy

${\displaystyle \mathbf {b} ^{'}=\mathbf {t} ^{'}\!\times \mathbf {n} +\mathbf {t} \times \mathbf {n} ^{'}=\mathbf {N} \times \mathbf {n} +\mathbf {t} \times \mathbf {n} ^{'}=\mathbf {t} \times \mathbf {n} ^{'},}$

(1.5)

ponieważ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ i ${\displaystyle \mathbf {n} }$ są kolinearne. Ponadto z (1.5) wynika, że ${\displaystyle \mathbf {b} ^{'}\cdot \mathbf {t} =0,}$ a ponieważ również ${\displaystyle \mathbf {b} ^{'}\cdot \mathbf {b} =0,}$

więc

${\displaystyle \mathbf {b} ^{'}={\frac {1}{\tau }}\mathbf {n} ,}$

(1.6)

gdzie ${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=T}$ jest torsją krzywej w punkcie ${\displaystyle P,}$ określoną wzorem (1.8).

Teraz można już obliczyć pochodną normalnej głównej, korzystając ze wzoru ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {b} \times \mathbf {t} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {n} ^{'}&=-(\mathbf {t} \times \mathbf {b} )^{'}=-\mathbf {t} ^{'}\!\times \mathbf {b} -\mathbf {t} \times \mathbf {b} ^{'}\\[1ex]&=-{\frac {1}{\rho }}\,\mathbf {n} \times \mathbf {b} -{\frac {1}{\tau }}\mathbf {t} \times \mathbf {n} \\[1ex]&=-{\frac {1}{\rho }}\,\mathbf {t} -{\frac {1}{\tau }}\mathbf {b} =-\kappa \mathbf {t} -T\mathbf {b} .\end{aligned}}}$

(1.7)

Poniższa tabelka zawiera kosinusy kierunkowe wersorów Freneta osi stycznej, normalnej i binormalnej z kierunkami osi ${\displaystyle 0x,\,0y,\,0z.}$

	x	y	z
${\displaystyle \mathbf {t} }$	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle \gamma }$
${\displaystyle \mathbf {n} }$	${\displaystyle \alpha _{1}}$	${\displaystyle \beta _{1}}$	${\displaystyle \gamma _{1}}$
${\displaystyle \mathbf {b} }$	${\displaystyle \alpha _{2}}$	${\displaystyle \beta _{3}}$	${\displaystyle \gamma _{2}}$

Wzory dla pochodnych wersorów Freneta zestawiono poniżej^[1].

	${\displaystyle \mathbf {i} }$	${\displaystyle \mathbf {j} }$	${\displaystyle \mathbf {k} }$
${\displaystyle \mathbf {t} ^{'}}$	${\displaystyle {\frac {\alpha _{1}}{\rho }}}$	${\displaystyle {\frac {\beta _{1}}{\rho }}}$	${\displaystyle {\frac {\gamma _{1}}{\rho }}}$
${\displaystyle \mathbf {n} ^{'}}$	${\displaystyle -{\frac {\alpha }{\rho }}-{\frac {\alpha _{2}}{\tau }}}$	${\displaystyle -{\frac {\beta }{\rho }}-{\frac {\beta _{2}}{\tau }}}$	${\displaystyle -{\frac {\gamma }{\rho }}-{\frac {\gamma _{2}}{\tau }}}$
${\displaystyle \mathbf {b} ^{'}}$	${\displaystyle {\frac {\alpha _{1}}{\tau }}}$	${\displaystyle {\frac {\beta _{1}}{\tau }}}$	${\displaystyle {\frac {\gamma _{1}}{\tau }}}$

Torsję krzywej można obliczyć, korzystając ze wzoru (1.6) po uwzględnieniu (1.1) i (1.5)

${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\frac {1}{\tau }}=\mathbf {b} ^{'}\cdot \mathbf {n} =\\[1ex]&=(\mathbf {t} \times \mathbf {n} ^{'})\cdot \mathbf {n} ={\big [}\mathbf {t} \times (\rho \mathbf {N} )^{'}{\big ]}\cdot \rho \mathbf {N} =\\[1ex]&={\big [}\mathbf {t} \times (\rho ^{'}\mathbf {N} +\rho \mathbf {N} ^{'}){\big ]}\cdot \rho \mathbf {N} =\\[1ex]&=\rho ^{2}(\mathbf {t} \times \mathbf {N} ^{'})\cdot \mathbf {N} =-\rho ^{2}(\mathbf {r} ^{'}\times \mathbf {r} ^{''})\cdot \mathbf {r} ^{'''}=\\[1ex]&=-\rho ^{2}\;{\begin{vmatrix}x^{'}&y^{'}&z^{'}\\x^{''}&y^{''}&z^{''}\\x^{'''}&y^{'''}&z^{'''}\end{vmatrix}},\end{aligned}}}$

(1.8)

dzięki temu, że ${\displaystyle (\mathbf {t} \times \mathbf {N} )\cdot \mathbf {N} =0.}$

Torsja ${\displaystyle T}$ określona w dowolnym punkcie ${\displaystyle P}$ krzywej ${\displaystyle K}$ wzorem ${\displaystyle \mathbf {b} ^{'}\!\cdot \mathbf {n} }$ stanowi pewną miarę zwichrowania tej krzywej w bliskim otoczeniu punktu ${\displaystyle P.}$ Polega ono na wychylaniu się krzywej z jej płaszczyzny ściśle do niej stycznej w tym punkcie. Gdy torsja ma wartość zerową krzywa w otoczeniu punktu ${\displaystyle P}$ jest płaska, bez zwichrowania.

Zapis parametryczny

Dana jest krzywa przestrzenna ${\displaystyle K}$ opisana parametrycznie równaniami^[2]

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t).}$

(1)

Na tej krzywej wyróżnimy dwa punkty ${\displaystyle P_{o}(x_{o},\,y_{o},\,z_{o}),}$ ${\displaystyle P_{1}(x_{1},\,y_{1},z_{1})}$ odpowiadające dwom wartościom ${\displaystyle t_{o},\,t_{1}}$ parametru ${\displaystyle t.}$ Przez te punkty przechodzi sieczna opisana równaniem

${\displaystyle {\frac {x-x_{o}}{x_{1}-x_{o}}}={\frac {y-y_{o}}{y_{1}-y_{o}}}={\frac {z-z_{o}}{z_{1}-z_{o}}}.}$

(2)

Dzieląc mianowniki przez ${\displaystyle t_{1}-t_{o}}$ i przechodząc do granicy ${\displaystyle t_{1}\to t_{o},}$ otrzymujemy równanie linii stycznej do krzywej ${\displaystyle K}$ w punkcie ${\displaystyle P_{o}}$

${\displaystyle {\frac {x-x_{o}}{{\dot {x}}_{o}}}={\frac {y-y_{o}}{{\dot {y}}_{o}}}={\frac {z-z_{o}}{{\dot {z}}_{o}}},}$

(3)

gdzie przez ${\displaystyle {\dot {x}}_{o},\,{\dot {y}}_{o},\,{\dot {z}}_{o}}$ oznaczono pochodne względem parametru liczone w punkcie ${\displaystyle P_{o}.}$

Równanie o postaci (3) jest konsekwencją kolinearności wektorów ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{o}}$ i ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{o}.}$

Równanie płaszczyzny normalnej ${\displaystyle \sigma _{o}}$ (prostopadłej) do krzywej w punkcie ${\displaystyle P_{o}}$ można zapisać w postaci^[2] iloczynu skalarnego wektora stycznego do niej z dowolnym wektorem leżącym w płaszczyźnie ${\displaystyle \sigma _{o}}$

${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} _{o}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{o})={\dot {x}}_{o}(x-x_{o})+{\dot {y}}_{o}(y-y_{o})+{\dot {z}}_{o}(z-z_{o})=0.}$

(4)

Równanie płaszczyzny ściśle stycznej ${\displaystyle \pi _{o}}$ do krzywej w punkcie ${\displaystyle P_{o}}$ zapiszemy w postaci

${\displaystyle \mathbf {H} _{o}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=A(x-x_{o})+B(y-y_{o})+C(z-z_{0})=0.}$

(5)

Problem polega teraz na tym, aby określić współrzędne ${\displaystyle A,\,B,\,C}$ takiego wektora ${\displaystyle \mathbf {H} _{o},}$ który byłby prostopadły do płaszczyzny ściśle stycznej ${\displaystyle \pi _{o}.}$

Rozważmy równanie takiej płaszczyzny ${\displaystyle \pi _{1},}$ na której leży styczna i która

• przechodzi przez punkt ${\displaystyle P_{o}}$ – a zatem każdy jej wektor ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{o}}$ jest prostopadły do ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}{:}}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{1}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{o})=A_{1}(x-x_{o})+B_{1}(y-y_{o})+C_{1}(z-z_{0})=0}$

(6)

oraz

• każdy wektor ${\displaystyle \mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{o}}$ leżący na płaszczyźnie ${\displaystyle \pi _{1}}$ jest prostopadły do ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}{:}}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{1}\cdot (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{o})=A_{1}(x_{1}-x_{o})+B_{1}(y_{1}-y_{o})+C_{1}(z_{1}-z_{0})=0.}$

(7)

Wektor ${\displaystyle \mathbf {H} _{1}}$ jest również prostopadły do wektora stycznego ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{o},}$ który leży na ${\displaystyle \pi _{1}{:}}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{1}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{o}=A_{1}{\dot {x}}_{o}+B_{1}{\dot {y}}_{o}+C_{1}{\dot {z}}_{o}=0.}$

(8)

Wykorzystując wzór Taylora zamiast (7), możemy napisać

${\displaystyle A_{1}(h{\dot {x}}_{o}+{\tfrac {1}{2}}h^{2}{\ddot {x}}_{\lambda })+B_{1}(h{\dot {y}}_{o}+{\tfrac {1}{2}}h^{2}{\ddot {y}}_{\lambda })+C_{1}(h{\dot {z}}_{o}+{\tfrac {1}{2}}h^{2}{\ddot {z}}_{\lambda })=0,}$

(9)

gdzie ${\displaystyle h=t_{1}-t_{o},\quad \lambda =x_{o}+\theta h,\quad 0<\theta <1.}$

Po uwzględnieniu (8) i (9) otrzymujemy

${\displaystyle A_{1}{\ddot {x}}_{\lambda }+B_{1}{\ddot {y}}_{\lambda }+C_{1}{\ddot {z}}_{\lambda }=0.}$

(10)

Można teraz z (8) i (10) wyznaczyć niewiadome ${\displaystyle A_{1}\;B_{1},\,C_{1}}$ i na podstawie (6) otrzymuje się, po przejściu do granicy ${\displaystyle t_{1}\to t_{o}}$

${\displaystyle ({\dot {y}}_{o}{\ddot {z}}_{o}-{\dot {z}}_{o}{\ddot {y}}_{o})(x-x_{o})+({\dot {z}}_{o}{\ddot {x}}_{o}-{\dot {x}}_{o}{\ddot {z}}_{o})(y-y_{o})+({\dot {x}}_{o}{\ddot {y}}_{o}-{\dot {y}}_{o}{\ddot {x}}_{o})(z-z_{o}).}$

(11)

Tak więc wektor ${\displaystyle \mathbf {H} _{o}}$ prostopadły do płaszczyzny ściśle stycznej ma współrzędne

${\displaystyle A={\dot {y}}_{o}{\ddot {z}}_{o}-{\dot {z}}_{o}{\ddot {y}}_{o},\quad B={\dot {z}}_{o}{\ddot {x}}_{o}-{\dot {x}}_{o}{\ddot {z}}_{o},\quad C={\dot {x}}_{o}{\ddot {y}}_{o}-{\dot {y}}_{o}{\ddot {x}}_{o}.}$

(12)

Przez punkt ${\displaystyle P_{o}}$ krzywej ${\displaystyle K}$ przechodzą trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny tworzące trójścian Freneta^[3]:

• ściśle styczna (o wektorze normalnym ${\displaystyle \mathbf {H} _{0}(A,B,C)}$) – równanie (5) i (12),
• normalna (o wektorze normalnym ${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} _{0}({\dot {x}}_{0},{\dot {y}}_{0},{\dot {z}}_{0})}$) – równanie (4),
• prostująca (o wektorze normalnym ${\displaystyle \mathbf {G} _{0}(L,M,N)}$) – prostopadła do dwu poprzednich. Jej równanie ma postać

${\displaystyle \mathbf {G} _{o}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{o})=L(x-x_{o})+M(y-y_{o})+N(z-z_{o})=0.}$

(13)

Wektor ${\displaystyle \mathbf {G} _{o}=(L,\,M,\,N)}$ jest prostopadły do obydwu wektorów ${\displaystyle \mathbf {H} _{o}=(A,\,B,\,C)}$ i ${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{o}=({\dot {x}}_{o},\,{\dot {y}}_{o},\,{\dot {z}}_{o})}$ i dlatego muszą być spełnione dwa równania

${\displaystyle \mathbf {H} _{o}\cdot \mathbf {G} _{o}=AL+BM+CN=0,}$

(14)

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{o}\cdot \mathbf {G} _{o}={\dot {x}}_{o}L+{\dot {y}}_{o}M+{\dot {z}}_{o}N=0.}$

(15)

Rozwiązanie równań (13) i (15) ma postać wzorów

${\displaystyle L=B{\dot {z}}_{o}-C{\dot {y}}_{o},\quad M=C{\dot {x}}_{o}-A{\dot {z}}_{o},\quad N=A{\dot {y}}_{o}-B{\dot {x}}_{o}.}$

(16)

Krawędziami trójścianu Freneta są proste:

• styczna – o wersorze ${\displaystyle \mathbf {t} }$ i równaniu (3),
• normalna główna – o wersorze ${\displaystyle \mathbf {n} }$ i prostopadła do płaszczyzny prostującej, określona równaniem

${\displaystyle {\frac {x-x_{o}}{L}}={\frac {y-y_{o}}{M}}={\frac {z-z_{o}}{N}},}$

(17)

• binormalna – o wersorze ${\displaystyle \mathbf {b} }$ i prostopadła do płaszczyzny ściśle stycznej, określona równaniem

${\displaystyle {\frac {x-x_{o}}{A}}={\frac {y-y_{o}}{B}}={\frac {z-z_{o}}{C}}.}$

(18)

Zachodzą przy tym następujące tożsamości

${\displaystyle L{\ddot {x}}_{o}+M{\ddot {y}}_{o}+N{\ddot {z}}_{o}\equiv A^{2}+B^{2}+C^{2}\quad {}}$ (lub ${\displaystyle {}\ \mathbf {G} _{o}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}_{o}\equiv \mathbf {H} _{o}^{2}}$),

(19)

${\displaystyle L^{2}+M^{2}+N^{2}\equiv ({\dot {x}}_{o}^{2}+{\dot {y}}_{o}^{2}+{\dot {z}}_{o}^{2})(A^{2}+B^{2}+C^{2})\quad {}}$ (lub ${\displaystyle {}\ \mathbf {G} _{o}^{2}\equiv {\dot {\mathbf {r} }}_{o}^{2}\mathbf {H} _{o}^{2}}$).

(20)

• Krzywizna i torsja krzywej

Płaszczyzna normalna do krzywej ${\displaystyle K}$ w jej punkcie ${\displaystyle P_{1}(x_{1},\,y_{1},\,z_{1})}$ opisana jest równaniem

${\displaystyle \mathbf {t} _{1}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{1})={\dot {x}}_{1}(x-x_{1})+{\dot {y}}_{1}(y-y_{1})+{\dot {z}}(z-z_{1})=0,}$

(21)

gdzie ${\displaystyle \mathbf {t} _{1}}$ jest wektorem stycznym do krzywej w punkcie ${\displaystyle P_{1}.}$

Przecina ona normalną główną (17) w punkcie ${\displaystyle S_{1}}$ o współrzędnych

${\displaystyle x=x_{o}+L\lambda ,\quad y=y_{o}+M\lambda ,\quad z=z_{o}+N\lambda .}$

(22)

Po podstawieniu (22) do (21) i uwzględnieniu (15) otrzymujemy wartość parametru

${\displaystyle \lambda _{s}={\frac {{\dot {x}}_{1}(x_{1}-x_{o})+{\dot {y}}_{1}(y_{1}-y_{o})+{\dot {z}}_{1}(z_{1}-z_{o})}{L({\dot {x}}_{1}-{\dot {x}}_{o})+M({\dot {y}}_{1}-{\dot {y}}_{o})+N({\dot {z}}_{1}-{\dot {z}}_{o})}}}$

(23)

określającą położenie punktu ${\displaystyle S_{1}}$ na kierunku normalnej głównej.

Po podzieleniu licznika i mianownika przez ${\displaystyle t_{1}-t_{o}}$ i po przejściu do granicy ${\displaystyle t_{1}\to t_{o}}$ otrzymujemy

${\displaystyle \lambda _{o}={\frac {{\dot {x}}_{o}^{2}+{\dot {y}}_{o}^{2}+{\dot {z}}_{o}^{2}}{L{\ddot {x}}_{o}+M{\ddot {y}}_{o}+N{\ddot {z}}_{o}}}.}$

(24)

Gdy punkt ${\displaystyle P_{1}}$ dąży do punktu ${\displaystyle P_{o}}$ punkt ${\displaystyle S_{1}}$ dąży do punktu ${\displaystyle S_{o}}$ o współrzędnych

${\displaystyle x_{*}=x_{o}+L\lambda _{o},\quad y_{*}=y_{o}+M\lambda _{o},\quad z_{*}=z_{o}+N\lambda _{o}.}$

(25)

Po wykorzystaniu tożsamości (19) otrzymujemy

${\displaystyle \lambda _{o}={\frac {{\dot {x}}_{o}^{2}+{\dot {y}}_{o}^{2}+{\dot {z}}_{o}^{2}}{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}={\frac {{\dot {\mathbf {r} }}_{o}^{2}}{\mathbf {H} _{o}^{2}}}.}$

(26)

Punkt o współrzędnych (25) nazywany jest środkiem krzywizny krzywej ${\displaystyle K}$ w jej punkcie ${\displaystyle P_{o}.}$ Miejscem geometrycznym środków krzywizny krzywej ${\displaystyle K,}$ o współrzędnych ${\displaystyle x_{*},y_{*},z_{*},}$ jest krzywa ${\displaystyle K_{*}}$ zwana ewolutą krzywej ${\displaystyle K.}$

Odległość punktu ${\displaystyle S_{o}}$ od punktu ${\displaystyle P_{o}}$ jest tak zwanym promieniem krzywizny ${\displaystyle \rho }$ krzywej w jej punkcie ${\displaystyle P_{o}.}$ Odległość tę oblicza się na podstawie wzorów (25) po uwzględnieniu tożsamości (20)

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ^{2}&=(x_{*}-x_{o})^{2}+(y_{*}-y_{o})^{2}+(z_{*}-z_{o})^{2}\\[1ex]&=L^{2}\lambda _{o}^{2}+M^{2}\lambda _{o}^{2}+N^{2}\lambda _{o}^{2}=\lambda _{o}^{2}(L^{2}+M^{2}+N^{2}),\end{aligned}}}$

${\displaystyle \rho =\lambda _{o}{\sqrt {L^{2}+M^{2}+N^{2}}}={\sqrt {\tfrac {({\dot {x}}_{o}^{2}+{\dot {y}}_{o}^{2}+{\dot {z}}_{o}^{2})^{3}}{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}=\lambda _{o}|\mathbf {G} _{o}|.}$

(27)

Krzywiznę krzywej określa wzór

${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{\rho }}={\sqrt {\frac {A^{2}+B^{2}+C^{2}}{({\dot {x}}_{o}^{2}+{\dot {y}}_{o}^{2}+{\dot {z}}_{o}^{2})^{3}}}}={\frac {1}{\lambda _{o}|\mathbf {G} _{o}|}}={\frac {\mathbf {H} _{o}^{2}}{|\mathbf {G} _{o}|\mathbf {\dot {r}} _{o}^{2}}}.}$

(28)

Krzywizna ${\displaystyle \kappa }$ nazywana jest pierwszą krzywizną krzywej dla odróżnienia jej od drugiej krzywizny ${\displaystyle T}$ nazywanej torsją krzywej. Torsja ${\displaystyle T}$ jest miarą skrętu krzywej związanego z obrotem trójścianu Freneta dokoła osi stycznej. Obrót ten można obliczyć, wprowadzając do rozważań jednostkowy wektor

${\displaystyle \mathbf {h} ={\frac {\mathbf {H} }{|\mathbf {H} |}},}$

${\displaystyle \mathbf {H} =A\,\mathbf {i} +B\,\mathbf {j} +C\,\mathbf {k} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x^{'}&y^{'}&z^{'}\\x^{''}&y^{''}&z^{''}\end{vmatrix}},}$

${\displaystyle \mathbf {H} ^{'}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x^{'}&y^{'}&z^{'}\\x^{'''}&y^{'''}&z^{'''}\end{vmatrix}},}$

(29)

dzięki któremu torsję ${\displaystyle T}$ można zdefiniować wzorem

${\displaystyle \mathbf {h} ^{'}=T\mathbf {n} ,\quad \mathbf {n} =\rho \mathbf {N} ,\quad \mathbf {N} =x^{''}\mathbf {i} +y^{''}\mathbf {j} +z^{''}\mathbf {k} ,}$

(30)

przy czym

${\displaystyle \mathbf {h} ^{'}=\left({\tfrac {\mathbf {H} }{|\mathbf {H} |}}\right)^{'}={\tfrac {\mathbf {H} ^{'}|\mathbf {H} |-\mathbf {H} |\mathbf {H} |^{'}}{|\mathbf {H} |^{2}}}=\rho ^{2}(|\mathbf {H} |\mathbf {H} ^{'}-|\mathbf {H} |^{'}\mathbf {H} )}$

(31)

dzięki temu, że po uwzględnieniu tożsamości Lagrange’a

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {H} ^{2}&=A^{2}+B^{2}+C^{2}=\\[1ex]&=(y^{'}z^{''}-z^{'}y^{''})^{2}+(x^{'}z^{''}-z^{'}x^{''})^{2}+(x^{'}y^{''}-y^{'}x^{''})^{2}=\\[1ex]&=(x^{'2}+y^{'2}+z^{'2})(x^{''2}+y^{''2}+z^{''2})-\\[1ex]&\qquad -(x^{'}x^{''}+y^{'}y^{''}+z^{'}z^{''})^{2}=\\&=\mathbf {t} ^{2}\mathbf {N} ^{2}-(\mathbf {t} \cdot \mathbf {N} )^{2}=(\mathbf {t} \cdot \mathbf {t} )(\mathbf {N} \cdot \mathbf {N} )-0={\tfrac {1}{\rho ^{2}}}.\end{aligned}}}$

(32)

Na podstawie (31) i dzięki temu, że ${\displaystyle \mathbf {H} ={\tfrac {1}{\rho }}\mathbf {b} ,}$ otrzymujemy

${\displaystyle {\begin{aligned}T&=(\mathbf {h} ^{'}\cdot \,\mathbf {n} )=\\[1ex]&=\rho ^{2}{\Big (}|\mathbf {H} |(\mathbf {H} ^{'}\mathbf {\cdot } \,\mathbf {n} )-|\mathbf {H} |^{'}(\mathbf {H} \cdot \mathbf {n} ){\Big )}=\\[1ex]&=\rho ^{2}|\mathbf {H} |(\mathbf {H} ^{'}\cdot \mathbf {n} )=\rho (\mathbf {H} ^{'}\cdot \mathbf {n} )=\\[1ex]&=\rho ^{2}(\mathbf {H} ^{'}\cdot \mathbf {N} )=-\rho ^{2}{\begin{vmatrix}x^{'}&y^{'}&z^{'}\\x^{''}&y^{''}&z^{''}\\x^{'''}&y^{'''}&z^{'''}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

(33)

Przykłady

1. Elipsa

${\displaystyle x(t)=a\cos t,\;y(t)=b\sin t,\;z(t)=0,}$

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=-a\sin t,\;{\dot {y}}(t)=b\cos t,\;{\dot {z}}(t)=0,}$

${\displaystyle ds(t)={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}dt=\sigma (t)dt,\;{\tfrac {dt}{ds}}={\tfrac {1}{\sigma }},}$

${\displaystyle \sigma (t)={\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t}},\;{\dot {\sigma }}={\tfrac {a^{2}-b^{2}}{\sigma }}\sin t\cos t,}$

${\displaystyle x^{'}(s)=-{\tfrac {a}{\sigma }}\sin t,\;\;y^{'}(s)={\tfrac {b}{\sigma }}\cos t,}$

${\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {ab^{2}}{\sigma ^{4}}}\cos t,\;\;y^{''}=-{\tfrac {a^{2}b}{\sigma ^{4}}}\sin t,}$

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2}}}}={\tfrac {\sigma ^{3}}{ab}},}$

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\-{\tfrac {a}{\sigma }}\sin t&{\tfrac {b}{\sigma }}\cos t&0\\-{\tfrac {b}{\sigma }}\cos t&-{\tfrac {a}{\sigma }}\sin t&0\end{vmatrix}}=(0,\;0,\;1),}$

${\displaystyle T=0}$  -  ponieważ ${\displaystyle \mathbf {b} =const.}$

2. Okrąg na płaszczyźnie o normalnej: ${\displaystyle {}\qquad \mathbf {b} =(0,\;-\sin \alpha ,\;\cos \alpha ).}$

${\displaystyle x(t)=r\cos t,\;y(t)=r\cos \alpha \sin t,\;z(t)=r\sin \alpha \sin t,}$

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=-r\sin t,\;{\dot {y}}(t)=r\cos \alpha \cos t,\;{\dot {z}}(t)=r\sin \alpha \cos t,}$

${\displaystyle ds={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}dt=rdt,}$

${\displaystyle x^{'}(s)=-\sin t,\;y^{'}(s)=\cos \alpha \cos t,\;z^{'}(s)=\sin \alpha \cos t,}$

${\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {1}{r}}\cos t,\;y^{''}(s)=-{\tfrac {1}{r}}\cos \alpha \sin t,\;z^{''}(s)=-{\tfrac {1}{r}}\sin \alpha \sin t,}$

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2}+(z^{''})^{2}}}}=r,}$

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\-\sin t&\cos \alpha \cos t&\sin \alpha \cos t\\-\cos t&-\cos \alpha \sin t&-\sin \alpha \sin t\end{vmatrix}}=(0,\;-\sin \alpha ,\;\cos \alpha ),}$

${\displaystyle T=0}$  -  ponieważ ${\displaystyle \mathbf {b} =const.}$

3. Spirala na walcu kołowym, linia śrubowa – krzywa „nawinięta” na walec o promieniu ${\displaystyle r.}$ Spirala jest prawoskrętna wokoło osi ${\displaystyle 0z.}$

${\displaystyle x(t)=r\cos t,\;y(t)=r\sin t,\;z(t)={\tfrac {hr}{2\pi }}t,}$

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=-r\sin t,\;{\dot {y}}(t)=r\cos t,\;{\dot {z}}(t)={\tfrac {hr}{2\pi }},}$

${\displaystyle ds={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}dt=r\sigma dt,\quad {\tfrac {dt}{ds}}={\tfrac {1}{r\sigma }},\quad t={\tfrac {s}{r}}\cos \varphi ,}$

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {1+\left({\tfrac {h^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)}},\quad {\tfrac {1}{\sigma }}=\cos \varphi ,\quad {\tfrac {h}{2\pi \sigma }}=\sin \varphi ,}$

gdzie ${\displaystyle \varphi }$ jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta względem płaszczyzny ${\displaystyle 0xy}$ kołowego przekroju walca,

${\displaystyle x^{'}(s)=-\cos \varphi \sin t,\;y^{'}(s)=\cos \varphi \cos t,\;z^{'}(s)=\sin \varphi ,}$

${\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {1}{r}}\cos ^{2}\varphi \cos t,\quad y^{''}(s)=-{\tfrac {1}{r}}\cos ^{2}\varphi \sin t,\quad z^{''}(s)=0,}$

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2}}}}={\tfrac {r}{\cos ^{2}\varphi }},}$

stąd

${\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {1}{\rho }}\cos t,\quad y^{''}(s)=-{\tfrac {1}{\rho }}\sin t,\quad z^{''}(s)=0,}$

${\displaystyle x^{'''}(s)={\tfrac {1}{\rho r\sigma }}\sin t,\quad y^{'''}(s)=-{\tfrac {r}{\rho r\sigma }}\cos t,\quad z^{'''}(s)=0,}$

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\-\cos \varphi \sin t&\cos \varphi \cos t&\sin \varphi \\-\cos t&-\sin t&0\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle {}\qquad =(\sin \varphi \sin t,\;-\sin \varphi \cos t,\;\cos \varphi ),}$

${\displaystyle T=-{\begin{vmatrix}-\cos \varphi \sin t&\cos \varphi \cos t&\sin \varphi \\-\cos t&-\sin t&0\\{\tfrac {1}{r\sigma }}\sin t&-{\tfrac {1}{r\sigma }}\cos t&0\end{vmatrix}}=-{\tfrac {1}{r\sigma }}\sin \varphi =-{\tfrac {1}{r}}\cos \varphi \sin \varphi .}$

4. Parabola płaska

${\displaystyle x(t)=t,\,y(t)=t^{2},\,z(t)=0,}$

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=1,\;{\dot {y}}(t)=2t,\;{\dot {z}}(t)=0,}$

${\displaystyle ds(t)={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}dt=\sigma (t)dt,\;{\tfrac {dt}{ds}}={\tfrac {1}{\sigma }},}$

${\displaystyle \sigma (t)={\sqrt {1+4t^{2}}},\quad {\dot {\sigma }}(t)={\tfrac {4t}{\sigma }},}$

${\displaystyle x^{'}(s)={\tfrac {1}{\sigma }},\quad y^{'}(s)={\tfrac {2t}{\sigma }},\quad z'(s)=0,}$

${\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {4t}{\sigma ^{4}}},\quad y^{''}(s)={\tfrac {2}{\sigma ^{4}}},\quad z^{''}(s)=0,}$

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2}}}}={\tfrac {\sigma ^{3}}{2}},}$

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\tfrac {1}{\sigma }}&{\tfrac {2t}{\sigma }}&0\\-{\tfrac {2t}{\sigma }}&{\tfrac {1}{\sigma }}&0\end{vmatrix}}=(0,\;0,\;1),}$

${\displaystyle T=-\rho ^{2}{\begin{vmatrix}x^{'}&y^{'}&0\\x^{''}&y^{''}&0\\x^{'''}&y^{'''}&0\end{vmatrix}}=0.}$

5. Parabola przestrzenna

${\displaystyle x(t)=t,\;y(t)=t^{2},\;z(t)=ht,}$

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=1,\;{\dot {y}}(t)=2t,\;{\dot {z}}(t)=h,}$

${\displaystyle ds(t)={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}dt=\sigma (t)dt,\;\;{\tfrac {dt}{ds}}={\tfrac {1}{\sigma }}}$

${\displaystyle \sigma (t)={\sqrt {1+h^{2}+4t^{2}}},\quad {\dot {\sigma }}(t)={\tfrac {4t}{\sigma }},}$

${\displaystyle x^{'}(s)={\tfrac {1}{\sigma }},\;y^{'}(s)={\tfrac {2t}{\sigma }},\;z^{'}(s)={\tfrac {h}{\sigma }},}$

${\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {4t}{\sigma ^{4}}},\;y^{''}(s)={\tfrac {2\kappa ^{2}}{\sigma ^{4}}},\;z^{''}(s)=-{\tfrac {4ht}{\sigma ^{4}}},}$

${\displaystyle x^{'''}(s)=-{\tfrac {4}{\sigma ^{7}}}\scriptstyle {(\sigma ^{2}-16t^{2})},\;y^{'''}(s)=-{\tfrac {32\kappa ^{2}t}{\sigma ^{7}}},\;z^{'''}(s)=-{\tfrac {4h}{\sigma ^{7}}}\scriptstyle {(\sigma ^{2}-16t^{2})},}$

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2}+(z^{''})^{2}}}}={\tfrac {\sigma ^{3}}{2\kappa }},\;\kappa ={\sqrt {1+h^{2}}},}$

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\tfrac {1}{\sigma }}&{\tfrac {2t}{\sigma }}&{\tfrac {h}{\sigma }}\\-{\tfrac {2t}{\kappa \sigma }}&{\tfrac {\kappa ^{2}}{\kappa \sigma }}&-{\tfrac {2ht}{\kappa \sigma }}\end{vmatrix}}=(-{\tfrac {h}{\kappa }},\;0,\;{\tfrac {1}{\kappa }}),}$

${\displaystyle T=-{\begin{vmatrix}{\tfrac {1}{\sigma }}&{\tfrac {2t}{\sigma }}&{\tfrac {h}{\sigma }}\\-{\tfrac {2t}{\kappa \sigma }}&{\tfrac {\kappa ^{2}}{\kappa \sigma }}&-{\tfrac {2ht}{\kappa \sigma }}\\-{\tfrac {2}{\kappa \sigma ^{4}}}\scriptstyle {(\sigma ^{2}-16t^{2})}&-{\tfrac {16\kappa ^{2}t}{\kappa \sigma ^{4}}}&-{\tfrac {2h}{\kappa \sigma ^{4}}}\scriptstyle {(\sigma ^{2}-16t^{2})},\end{vmatrix}}=0.}$

Zerowanie się torsji wynika również bezpośrednio z faktu, że ${\displaystyle \mathbf {b} =const.}$ Rozważana krzywa w całości leży na swojej płaszczyźnie ściśle stycznej o normalnej ${\displaystyle \mathbf {b} .}$

6. Spirala Archimedesa

${\displaystyle x(t)=at\cos t,\;y(t)=at\sin t,\;z(t)=0,}$

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=a(\cos t-t\sin t),\;{\dot {y}}(t)=a(\sin t+t\cos t),\;{\dot {z}}(t)=0,}$

${\displaystyle ds(t)={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}dt=\sigma (t)dt,}$

${\displaystyle \sigma (t)=a{\sqrt {1+t^{2}}},\quad {\dot {\sigma }}(t)={\tfrac {a^{2}t}{\sigma }},}$

${\displaystyle x^{'}(s)={\tfrac {a}{\sigma }}(\cos t-t\sin t),\;y^{'}(s)={\tfrac {a}{\sigma }}(\sin t+t\cos t),\;z^{'}(s)=0,}$

${\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {a}{\sigma ^{4}}}(\mu t\cos t+\nu \sin t),\quad \mu =a^{2}+\sigma ^{2},}$

${\displaystyle y^{''}(s)={\tfrac {a}{\sigma ^{4}}}(\nu \cos t-\mu t\sin t),\quad \nu =2\sigma ^{2}-a^{2}t^{2},}$

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2}}}}={\tfrac {\sigma ^{4}}{\alpha }},\quad \alpha =a{\sqrt {\mu ^{2}t^{2}+\nu ^{2}}},}$

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {a}{\sigma }}\scriptstyle {(\cos t-t\sin t)}&{\tfrac {a}{\sigma }}\scriptstyle {(\sin t+t\cos t)}&0\\-{\tfrac {a}{\alpha }}\scriptstyle {(\mu t\cos t+\nu \sin t)}&{\tfrac {a}{\alpha }}\scriptstyle {(\nu \cos t-\mu t\sin t)}&0\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle {}\qquad =\left[0,\;0,\;{\tfrac {a^{2}\sigma }{\alpha }}\scriptstyle {(t^{2}+2)}\right]=(0,\,0,\,1),}$

${\displaystyle T=0.}$

7. Spirala stożkowa – krzywa „nawinięta” na stożek kołowy.

${\displaystyle x(t)=(a+bt)\cos t,\;y(t)=(a+bt)\sin t,\;z(t)=ht}$

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=b\cos t-(a+bt)\sin t,}$

${\displaystyle {\dot {y}}(t)=b\sin t+(a+bt)\cos t,\quad {\dot {z}}(t)=h,}$

${\displaystyle ds(t)={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+({\dot {z}})^{2}+}}dt=\sigma (t)dt,}$

${\displaystyle \sigma (t)={\sqrt {b^{2}+h^{2}+(a+bt)^{2}}},\quad {\dot {\sigma }}(t)={\tfrac {b}{\sigma }}(a+bt),}$

${\displaystyle x^{'}(s)={\tfrac {1}{\sigma }}[b\cos t-(a+bt)\sin t],}$

${\displaystyle y^{'}(s)={\tfrac {1}{\sigma }}[b\sin t+(a+bt)\cos t],\quad z^{'}(s)={\tfrac {h}{\sigma }},}$

${\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {1}{\sigma ^{4}}}(\mu \cos t+\nu \sin t),}$

${\displaystyle y^{''}(s)={\tfrac {1}{\sigma ^{4}}}(\nu \cos t-\mu \sin t),\quad z^{''}(s)=-{\tfrac {bh}{\sigma ^{4}}}\scriptstyle {(a+bt)},}$

${\displaystyle \mu =(\sigma ^{2}+b^{2})(a+bt),\;\;\nu =b[2\sigma ^{2}-(a+bt)^{2}],}$

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2}+(z^{''})^{2}}}}={\tfrac {\sigma ^{4}}{\kappa }},\quad \kappa ={\sqrt {\scriptstyle {\mu ^{2}+\nu ^{2}+b^{2}h^{2}(a+bt)^{2}}}},}$

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {1}{\sigma }}\scriptstyle {[(b\cos t-(a+bt)\sin t]}&{\frac {1}{\sigma }}\scriptstyle {[b\sin t+(a+bt)\cos t]}&{\tfrac {h}{\sigma }}\\-{\tfrac {1}{\kappa }}\scriptstyle {(\mu \cos t+\nu \sin t)}&{\tfrac {1}{\kappa }}\scriptstyle {(\nu \cos t-\mu \sin t)}&-{\tfrac {bh}{\kappa }}\scriptstyle {(a+bt)}\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle =\{{\tfrac {h\sigma }{\kappa }}\scriptstyle {[-2b\cos t+(a+bt)\sin t]},\;\;-{\tfrac {h\sigma }{\kappa }}\scriptstyle {[(a+bt)\cos t+2b\sin t]},\;\;{\tfrac {\sigma }{\kappa }}\scriptstyle {[2b^{2}+(a+bt)^{2}]}\;\},}$

${\displaystyle |\mathbf {b} |=1,}$

${\displaystyle x^{'''}(s)=-{\tfrac {1}{\sigma ^{7}}}(\gamma \cos t-\beta \sin t),}$

${\displaystyle y^{'''}(s)=-{\tfrac {1}{\sigma ^{7}}}(\beta \cos t+\gamma \sin t),}$

${\displaystyle z^{'''}(s)=-{\tfrac {b^{2}h}{\sigma ^{7}}}[\sigma ^{2}-4(a+bt)^{2}],}$

${\displaystyle \beta =\mu \sigma ^{2}+4\nu b(a+bt),\quad \gamma =\nu \sigma ^{2}-4\mu b(a+bt),}$

${\displaystyle T=-{\begin{vmatrix}{\tfrac {1}{\sigma }}\scriptstyle {[b\cos t-(a+bt)\sin t]}&{\tfrac {1}{\sigma }}\scriptstyle {[b\sin t+(a+bt)\cos t]}&{\tfrac {h}{\sigma }}\\-{\tfrac {1}{\kappa }}\scriptstyle {(\mu \cos t+\nu \sin t)}&{\tfrac {1}{\kappa }}\scriptstyle {(\nu \cos t)-\mu \sin t)}&-{\tfrac {bh}{\kappa }}\scriptstyle {(a+bt)}\\-{\tfrac {1}{\kappa \sigma ^{3}}}\scriptstyle {(\gamma \cos t-\beta \sin t)}&-{\tfrac {1}{\kappa \sigma ^{3}}}\scriptstyle {(\beta \cos t+\gamma \sin t)}&-{\tfrac {b^{2}h}{\kappa \sigma ^{3}}}\scriptstyle {[\sigma ^{2}-4(a+bt)^{2}]}\end{vmatrix}}.}$

8. Spirala na walcu eliptycznym – krzywa „nawinięta” na taki walec o półosiach ${\displaystyle a,b.}$

${\displaystyle x(t)=a\cos t,\;y(t)=b\sin t,\;z(t)=ht,}$

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=-a\sin t,\;{\dot {y}}(t)=b\cos t,\;{\dot {z}}(t)=h,}$

${\displaystyle ds(t)={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}dt=\sigma (t)dt,}$

${\displaystyle \sigma (t)={\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t+h^{2}}},}$

${\displaystyle x^{'}(s)=-{\tfrac {a}{\sigma }}\sin t,\;y^{'}(s)={\tfrac {b}{\sigma }}\cos t,\;z^{'}(s)={\tfrac {h}{\sigma }},}$

${\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {\alpha }{\sigma ^{4}}}\cos t,\;\;\;y^{''}(s)=-{\tfrac {\beta }{\sigma ^{4}}}\sin t,}$

${\displaystyle z^{''}(s)=-{\tfrac {\gamma }{\sigma ^{4}}}\sin t\cos t,}$

${\displaystyle \alpha =a(b^{2}+h^{2}),\;\;\beta =b(a^{2}+h^{2}),\;\;\gamma =h(a^{2}-b^{2}),}$

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2}+(z^{''})^{2}}}}={\tfrac {\sigma ^{4}}{\kappa }},}$

${\displaystyle \kappa ={\sqrt {\scriptstyle {\alpha ^{2}\cos ^{2}t+\beta ^{2}\sin ^{2}t+\gamma ^{2}\sin ^{2}t\cos ^{2}t}}},}$

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\-{\frac {a}{\sigma }}\scriptstyle {\sin t}&{\tfrac {b}{\sigma }}\scriptstyle {\cos t}&{\tfrac {h}{\sigma }}\\-\scriptstyle {\,{\tfrac {\alpha }{\kappa }}\cos t}&-\scriptstyle {{\tfrac {\beta }{\kappa }}\sin t}&-\scriptstyle {\,{\tfrac {\gamma }{\kappa }}\sin t\cos t}\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle {}\qquad =\left({\tfrac {bh}{\kappa }}\sigma \sin t,\;-{\tfrac {ah}{\kappa }}\sigma \cos t,\;{\tfrac {ab}{\kappa }}\sigma \right),}$

${\displaystyle x^{'''}(s)={\tfrac {\alpha }{\sigma ^{7}}}\left({\tfrac {4\gamma }{h}}\cos ^{2}t+\sigma ^{2}\right)\sin t,}$

${\displaystyle y^{'''}(s)={\tfrac {\beta }{\sigma ^{7}}}\left({\tfrac {4\gamma }{h}}\sin ^{2}t+\sigma ^{2}\right)\cos t,}$

${\displaystyle z^{'''}(s)={\tfrac {\gamma }{\sigma ^{7}}}\left[{\tfrac {4\gamma }{h}}\sin ^{2}t\cos ^{2}t-\sigma ^{2}(\cos ^{2}t-\sin ^{2}t)\right].}$

9. Sinusoida „nawinięta” na walec kołowy.

${\displaystyle x(t)=r\cos t,\;\;y(t)=r\sin t,\;\;z(t)=h\sin nt,}$

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=-r\sin t,\;\;{\dot {y}}(t)=r\cos t,\;\;{\dot {z}}(t)=nh\cos nt,}$

${\displaystyle ds(t)={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}dt=\sigma (t)dt,}$

${\displaystyle \sigma (t)={\sqrt {r^{2}\sin ^{2}t+r^{2}\cos ^{2}t+n^{2}h^{2}\cos ^{2}nt}},}$

${\displaystyle x^{'}(s)=-{\tfrac {r}{\sigma }}\sin t,\;\;y^{'}(s)={\frac {r}{\sigma }}\cos t,\;\;z^{'}(s)={\tfrac {nh}{\sigma }}\cos nt,}$

${\displaystyle x^{''}(s)=-{\tfrac {r}{\sigma ^{4}}}(\varphi \sin t+\sigma ^{2}\!\cos t),}$

${\displaystyle y^{''}(s)={\tfrac {r}{\sigma ^{4}}}(\varphi \cos t-\sigma ^{2}\!\sin t),\quad z^{''}(s)={\tfrac {nh}{\sigma ^{4}}}\psi ,}$

${\displaystyle \varphi (nt)=n^{3}h^{2}\!\sin nt\cos nt,\;\;\;\psi (nt)=(n^{3}h^{2}\!\cos ^{2}\!nt-\sigma ^{2})\sin nt,}$

${\displaystyle \rho ={\tfrac {1}{\sqrt {(x^{''})^{2}+(y^{''})^{2}+(z^{''})^{2}}}}={\tfrac {\sigma ^{4}}{\kappa }},}$

${\displaystyle \kappa ={\sqrt {r^{2}(\varphi ^{2}+\sigma ^{4})+n^{2}h^{2}\psi ^{2}}},}$

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\-{\frac {r}{\sigma }}\scriptstyle {\sin t}&{\tfrac {r}{\sigma }}\scriptstyle {\cos t}&{\tfrac {nh}{\sigma }}\scriptstyle {\cos nt}\\\scriptstyle {\,-{\tfrac {r}{\kappa }}(\varphi \sin t+\sigma ^{2}\!\cos t)}&\scriptstyle {{\tfrac {r}{\kappa }}(\varphi \cos t-\sigma ^{2}\!\sin t)}&\scriptstyle {\,{\tfrac {nh}{\kappa }}\psi }\end{vmatrix}}.}$

10. Cykloida

${\displaystyle x(t)=rt-c\sin t,\;\;y(t)=r-c\cos t,\;\;z(t)=0,}$

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=r-c\cos t,\;\;{\dot {y}}(t)=c\sin t,}$

${\displaystyle ds={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}dt=\sigma (t)dt,}$

${\displaystyle \sigma (t)={\sqrt {r^{2}+c^{2}-2rc\cos t}},\;\;{\dot {\sigma }}(t)={\tfrac {rc}{\sigma }}\sin t,}$

${\displaystyle x^{'}(s)={\tfrac {1}{\sigma }}(r-c\cos t),\;\;y^{'}(s)={\tfrac {c}{\sigma }}\sin t,}$

${\displaystyle x^{''}(s)={\tfrac {1}{\sigma ^{4}}}(rc^{2}\cos t+\sigma ^{2}-r^{2}c)\sin t={\tfrac {1}{\sigma ^{4}}}\varphi (t),}$

${\displaystyle y^{''}(s)={\tfrac {1}{\sigma ^{4}}}(\sigma ^{2}\cos t-rc\sin ^{2}t)={\tfrac {1}{\sigma ^{4}}}\psi (t),}$

${\displaystyle \rho ={\tfrac {\sigma ^{4}}{\kappa }},\;\;\kappa ={\sqrt {\varphi ^{2}+\psi ^{2}}},}$

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {t} \times \mathbf {n} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\tfrac {1}{\sigma }}(r-c\cos t)&{\tfrac {c}{\sigma }}\sin t&0\\{\tfrac {1}{\kappa }}\varphi (t)&{\tfrac {1}{\kappa }}\psi (t)&0\end{vmatrix}}=}$

${\displaystyle {}\qquad =\left\{0,\;\;0,\;\;{\tfrac {1}{\kappa \sigma }}[(r-c\cos t)\psi -(c\sin t)\varphi ]\right\}.}$

Wzory Freneta w ${\displaystyle R^{n}}$

Wzory Freneta zostały uogólnione dla więcej wymiarowych przestrzeni euklidesowych przez C. Jordana w 1874 roku.

Przypuśćmy, że ${\displaystyle \mathbf {r} (s)}$ opisuje gładką krzywą w ${\displaystyle R^{n},}$ sparametryzowaną przez długość łuku ${\displaystyle s}$ oraz że pierwsze ${\displaystyle n}$ pochodnych ${\displaystyle \mathbf {r} (s)}$ jest liniowo niezależnych. Geometrycznie oznacza to, że krzywa ${\displaystyle \mathbf {r} (s)}$ nie zawiera się w żadnej hiperpłaszczyźnie o wymiarze ${\displaystyle n-1}$ (ani w żadnej płaszczyźnie o niższych wymiarach). Wektory układu Freneta są bazą ortogonalną skonstruowaną przy pomocy ortogonalizacji Grama-Schmidta wykonanej na wektorach ${\displaystyle \mathbf {r} (s),\,\mathbf {r} ^{'}(s),\,\mathbf {r} ^{''}(s),\,...\,\mathbf {r} ^{(n)}(s).}$

W szczególności, jednostkowy wektor styczny ${\displaystyle \mathbf {r} (s)}$ jest pierwszym wektorem układu Freneta ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}(s)=\mathbf {r} '(s).}$

Wektor normalny ${\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s),}$ czasami nazywany wektorem krzywizny, wskazuje odchylenie krzywej od stycznej linii prostej. Jest zdefiniowany jako

${\displaystyle {\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)=\mathbf {r} ''(s)-{\Big \langle }\mathbf {r} ''(s)\centerdot \mathbf {e} _{1}(s){\Big \rangle }\mathbf {e} _{1}(s).}$

W standardowej formie, jednostkowy wektor normalny jest drugim wektorem układu Freneta ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}(s)}$ i jest zdefiniowany jako

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{2}}}(s)\|}}.}$

Wektor styczny i normalny w punkcie ${\displaystyle s}$ definiują płaszczyznę ściśle styczną w punkcie ${\displaystyle \mathbf {r} (s).}$

Pozostałe wektory układu Freneta (wektor binormalny, trinormalny itd.) są zdefiniowane w sposób analogiczny jako:

${\displaystyle \mathbf {e} _{j}(s)={\frac {{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)}{\|{\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)\|}},\qquad {\overline {\mathbf {e} _{j}}}(s)=\mathbf {r} ^{(j)}(s)-\sum _{i=1}^{j-1}{\Big \langle }\mathbf {r} ^{(j)}(s)\,\centerdot \,\mathbf {e} _{i}(s){\Big \rangle }\,\mathbf {e} _{i}(s).}$

Funkcje o wartościach rzeczywistych ${\displaystyle \chi _{i}(s)}$ zdefiniowane jako:

${\displaystyle \chi _{i}(s)={\Big \langle }\mathbf {e} _{i}'(s)\centerdot \mathbf {e} _{i+1}(s){\Big \rangle }}$

są nazywane krzywiznami uogólnionymi, przy czym symbol ${\displaystyle \langle \mathbf {a} \centerdot \mathbf {b} \rangle }$ oznacza iloczyn skalarny wektorów ${\displaystyle \mathbf {a} }$ i ${\displaystyle \mathbf {b} .}$

W przypadku n-wymiarowym wzory Fréneta-Serreta mają postać:

${\displaystyle \mathbf {e} _{j}^{'}(s)=\chi _{j}(s)\mathbf {e} _{j+1}-\chi _{j-1}(s)\mathbf {e} _{j-1}}$ dla ${\displaystyle j=1\dots n.}$

W języku macierzy wyglądają tak:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}'(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}'(s)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\chi _{1}(s)&&0\\-\chi _{1}(s)&\ddots &\ddots &\\&\ddots &0&\chi _{n-1}(s)\\0&&-\chi _{n-1}(s)&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}(s)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}(s)\end{bmatrix}}.}$

Zobacz też

• krzywizna krzywej
• ewoluta
• ewolwenta
• torsja krzywej
• Jean Frédéric Frenet

Przypisy

Bibliografia

• Krzysztof Maurin: Analiza. Część I. Elementy. Warszawa: PWN, 1991, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 69. ISBN 83-01-09940-2. Brak numerów stron w książce