Zbiór wszędzie gęsty

Zbiór wszędzie gęsty lub zbiór w sobie gęsty – zbiór, którego każdy punkt jest jego punktem skupienia.

W przestrzeni metrycznej jest to równoważne stwierdzeniu, że każdy punkt jest granicą ciągu punktów tej przestrzeni różnych od niego.

Przykłady:

• zbiór liczb rzeczywistych jest wszędzie gęsty
• zbiór liczb wymiernych jest wszędzie gęsty
• zbiór liczb całkowitych nie jest wszędzie gęsty
• zbiór {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, ...} nie jest wszędzie gęsty
• zbiór (0, 1)∪{2} nie jest wszędzie gęsty
• każdy zbiór otwarty w przestrzeni euklidesowej jest wszędzie gęsty.

Jeżeli przez ${\displaystyle A^{d}}$ oznaczyć pochodną zbioru ${\displaystyle A,}$ to zbiór ${\displaystyle A}$ jest w sobie gęsty wtedy i tylko wtedy, gdy:

${\displaystyle A\subset A^{d}.}$

W przestrzeni T1 domknięcie zbioru wszędzie gęstego jest również zbiorem wszędzie gęstym.

Zbiór domknięty i jednocześnie wszędzie gęsty nazywamy zbiorem doskonałym.

Przykładem zbioru doskonałego jest domknięcie dowolnego zbioru otwartego przestrzeni euklidesowej. Zbiorem doskonałym jest również zbiór Cantora.

Zobacz też

• zbiór doskonały
• zbiór gęsty
• zbiór nigdziegęsty
• zbiór pierwszej kategorii