Conjunto de medida zero

Em matemática, o conceito de conjunto de medida zero ou nula é uma formalização da ideia de insignificante.

Na teoria das probabilidades, medida zero indica probabilidade zero.

Mais precisamente falando, se ( X , M , ν ) {\displaystyle (X,{\mathfrak {M}},\nu )} é um espaço de medida, um conjunto E ∈ M {\displaystyle E\in {\mathfrak {M}}} é dito ter medida zero se:

ν ( E ) = 0 {\displaystyle \nu (E)=0\,}

Um conjunto, por outro lado, é dito ter medida plena em X se o seu complementar em X tiver medida zero.

Em análise real, a medida de Lebesgue possui especial importância e, muitas vezes, usa-se o termo medida zero para indicar medida de Lebesgue zero. Mesmo em contextos de introdução à análise, o conceito de conjunto de medida zero é introduzido sem referências à teoria da medida.

Exemplo: conjunto de medida (de Lebesgue) zero na reta

Seja Z {\displaystyle Z} um conjunto qualquer na reta. Dizemos que { B n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{B_{n}\}_{n=1}^{\infty }} é uma cobertura de bolas abertas para Z {\displaystyle Z} se satisfizer as hipóteses:

  • Z ⊆ ⋃ n = 1 ∞ B n {\displaystyle Z\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n}}
  • B n = ( a n , b n ) {\displaystyle B_{n}=(a_{n},b_{n})\,} são bolas abertas com centro em a n + b n 2 {\displaystyle {\frac {a_{n}+b_{n}}{2}}} e raio b n − a n 2 {\displaystyle {\frac {b_{n}-a_{n}}{2}}}

O comprimento da cobertura { B n } {\displaystyle \{B_{n}\}} é definido como:

∑ n = 1 ∞ l ( B n ) = ∑ n = 1 ∞ ( b n − a n ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }l(B_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-a_{n})}
Note-se que não é necessário que as bolas sejam disjuntas.

Um conjunto Z {\displaystyle Z} é dito ter medida zero se para todo ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} , existir uma cobertura de bolas abertas de comprimento menor ou igual a ε {\displaystyle \varepsilon } .

Exemplo

O conjunto dos números inteiros, Z {\displaystyle \mathbb {Z} } tem medida zero.

Sabe-se que Z {\displaystyle \mathbb {Z} } é enumerável, portanto pode ser escrito como:

Z = { x j } j = 1 ∞ {\displaystyle \mathbb {Z} =\{x_{j}\}_{j=1}^{\infty }}

Fixe um ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} arbitrário e considere as bolas:

B n = ( x j − ε 2 − n − 1 , x j + ε 2 − n − 1 ) {\displaystyle B_{n}=(x_{j}-\varepsilon 2^{-n-1},x_{j}+\varepsilon 2^{-n-1})}
l ( B n ) = 2 ε ⋅ 2 − n − 1 = ε ⋅ 2 − n {\displaystyle l(B_{n})=2\varepsilon \cdot 2^{-n-1}=\varepsilon \cdot 2^{-n}}
E o comprimento da cobertura { B n } n = 1 ∞ {\displaystyle \{B_{n}\}_{n=1}^{\infty }} é:
∑ n = 1 ∞ l ( B n ) = ∑ n = 1 ∞ ε ⋅ 2 − n = ε ∑ n = 1 ∞ 2 − n = ε {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }l(B_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon \cdot 2^{-n}=\varepsilon \sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}=\varepsilon }

Observe que, de forma geral, todo conjunto enumerável possui medida de Lebesgue zero.

Propriedades

  • Pode-se imitar a demonstração acima para mostrar que a união enumerável de conjuntos de medida zero tem medida zero
  • É fácil ver que se A ⊆ B {\displaystyle A\subseteq B\,} e B tem medida zero, então A também tem medida zero (esta é a definição de medida completa).
  • O lema de Riemann-Lebesgue diz que uma função real limitada é integrável a Riemann se e somente se seus pontos de descontinuidade formam um conjunto de medida zero.

Ver também

Wikilivros
Wikilivros
O Wikilivros tem um livro chamado Medida e integração