Distribuição multinomial

Em probabilidade e estatística, a distribuição multinomial é uma generalização da distribuição binomial para casos onde temos mais de dois possíveis resultados, sendo assim é uma distribuição de probabilidade discreta e multivariada.

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Temos um total de ${\displaystyle n}$ objetos/itens separados independentemente em ${\displaystyle k>2}$ categorias/tipos, um item é da categoria ${\displaystyle j=1,2,...,k}$ com probabilidade ${\displaystyle p_{j}}$ não-nula onde ${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}p_{j}=1}$, além disso dizemos que ${\displaystyle X_{j}}$ é a quantidade de itens na categoria ${\displaystyle j}$ onde ${\displaystyle \sum _{j=1}^{k}X_{j}=X_{1}+...+X_{k}=n}$. Como se trata de um caso multivariado dizemos que o vetor aleatório ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}:=(X_{1},X_{2},...,X_{k})}$ tem distribuição multinomial e denotamos ${\displaystyle X\sim Multinomial_{k}(n,{\boldsymbol {p}})}$ onde ${\displaystyle {\boldsymbol {p}}:=(p_{1},p_{2},...,p_{k})\in \mathbb {R} _{+}^{k}}$.

Função massa de probabilidade (conjunta) multinomial^[1]:

${\displaystyle P(X_{1}=n_{1},...,X_{k}=n_{k}):={\frac {n!}{n_{1}...n_{k}}}p_{1}^{n_{1}}...p_{k}^{n_{k}}}$

Onde as reticências indicam um produtório e ${\displaystyle n_{1}+...+n_{k}=n}$.

Referências