Escalar de curvatura de Ricci

Em matemática, a curvatura escalar de uma superfície é a familiar curvatura gaussiana. Para as variedades riemannianas de dimensão mais alta (n > 2), é o dobro da soma de todas as curvaturas seccionais ao longo de todos os 2-planos atravessados por um certo marco ortonormal. Matematicamente a curvatura escalar coincide também o traço total da curvatura de Ricci assim como do tensor de curvatura.

Expressão em componentes

O escalar de curvatura de Ricci ${\displaystyle R}$ pode ser expresso em termos do tensor métrico ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ (e suas derivadas primeiras) que define a geometria da superfície ou variedade riemanniana. Usando a convenção de soma de Einstein, obtemos

${\displaystyle R=-g^{\mu \nu }\left[\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }\Gamma _{\lambda \sigma }^{\sigma }-\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }\Gamma _{\nu \lambda }^{\sigma }\right]-\partial _{\nu }\left[g^{\mu \nu }\Gamma _{\mu \sigma }^{\sigma }-g^{\mu \sigma }\Gamma _{\mu \sigma }^{\nu }\right]}$,

em que os símbolos de Christoffel que aparecem na expressão anterior são calculados a partir das derivadas primeiras das componentes do tensor métrico, isto é,

${\displaystyle \Gamma _{kl}^{i}={\frac {1}{2}}g^{im}\left({\frac {\partial g_{mk}}{\partial x^{l}}}+{\frac {\partial g_{ml}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial g_{kl}}{\partial x^{m}}}\right)}$.

Também podemos representar o tensor escalar da curvatura de Ricci como

${\displaystyle R=g^{ab}R_{ab}=g^{ab}({\partial _{\kappa }{\Gamma ^{\kappa }}_{ba}}-{\partial _{b}{\Gamma ^{\kappa }}_{\kappa a}}+{\Gamma ^{\eta }}_{ba}{\Gamma ^{\kappa }}_{\kappa \eta }-{\Gamma ^{\eta }}_{\kappa a}{\Gamma ^{\kappa }}_{b\eta })}$,

sendo ${\displaystyle R_{ab}}$ o tensor de curvatura de Ricci.

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