Fórmula da redução de LSZ

Teoria quântica de campos

(Diagramas de Feynman)

Histórica Pano de fundo Teoria de gauge Teoria dos campos Simetria de Poincaré Mecânica quântica Quebra espontânea de simetria Teoria dos twistores Simetrias Crossing Simetria C Paridade Simetria T Ferramentas Anomalia Teoria efetiva dos campos Matriz CKM Valor esperado do vácuo Faddeev–Popov ghosts Diagramas de Feynman Fórmula da redução de LSZ Propagator Quantização Renormalização Vácuo quântico Teorema de Wick Axiomas de Wightman Equações Equação de Dirac Equação de Klein–Gordon Equação de Proca Equação de Wheeler–DeWitt Modelo padrão Força eletrofraca Mecanismo de Higgs Cromodinâmica quântica Eletrodinâmica quântica Teoria de Yang–Mills Teorias incompletas Gravidade quântica Teoria das cordas Supersimetria Technicolor Teoria do tudo Cientistas Adler • Bethe • Bogoliubov • Callan • Candlin • Coleman • DeWitt • Dirac • Dyson • Fermi • Feynman • Fierz • Fröhlich • Gell-Mann • Goldstone • Gross • 't Hooft • Jackiw • Klein • Landau • Lee • Lehmann • Majorana • Nambu • Parisi • Polyakov • Salam • Schwinger • Skyrme • Stueckelberg •Symanzik • Tomonaga • Veltman • Weinberg • Weisskopf • Wilson • Wilczek • Witten • Yang • Yukawa • Zimmermann • Zinn-Justin

Esta caixa: ver discutir editar

Em teoria quântica de campos, a fórmula da redução de LSZ é um método para calcular elementos da matriz-S (as amplitudes de espalhamento) das funções de correlação ordenadas no tempo de uma teoria quântica de campos. É um passo da sequência que começa na lagrangeana de alguma teoria quântica de campos, e leva à previsão de quantidades mensuráveis. Seu nome é uma homenagem a três físicos alemães, Harry Lehmann, Kurt Symanzik e Wolfhart Zimmermann.^[1][2][3]

Embora a fórmula da redução de LSZ não sirva para partículas compostas, partículas sem massa, e sólitons topológicos, ela pode ser generalizada para cobrir partículas compostas, pelo uso de campos compostos que frequentemente são não-locais. Além disso, o método (ou suas variantes) tornou-se igualmente frutífero em outros campos da física teórica. Por exemplo, em física estatística eles podem ser usados para obter uma formulação particularmente geral do teorema da flutuação-dissipação.

Campos Antecessor e Posterior

Elementos da matriz S são pontos de transições entre estados Antecessor e Posterior. Um estado Antecessor ${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {Antecessor} \rangle }$ descreve o estado de um sistema de partículas que, em um momento no passado, antes de interagir, se movendo livremente com momento definido ${\displaystyle \{p\}}$, e, convencionalmente, um estado Posterior ${\displaystyle |\{p\}\ \mathrm {Posterior} \rangle }$ descreve o estado de um sistema de partículas que, em um momento posterior, depois de interação, se movendo livremente com momento definido ${\displaystyle \{p\}}$.^[1][2][3]

Os estados Antecessor e Posterior são estados numa Representação de Heisenberg , não devemos descrever as partículas em um determinado momento, mas sim um sistema de partículas em evolução, de modo que o elemento da matriz S descrevem :

${\displaystyle S_{fi}=\langle \{q\}\ \mathrm {Posterior} |\{p\}\ \mathrm {Antecessor} \rangle }$

é a Amplitude de probabilidade a um ajuste no sistema de partículas que foram preparados com momento definido ${\displaystyle \{p\}}$ a interagir e ser medidos mais tarde, como um novo conjunto de partículas com momento ${\displaystyle \{p\}}$.

A maneira mais fácil de construir estados Antecessor e Posterior é buscar operadores de campo apropriados que forneçam os operadores de criação e aniquilação. Esses campos são chamados respectivamente de campo Antecessor e Posterior.

Apenas para fixar idéias, suponha que lidar com um campo de Klein-Gordon, que interage de alguma forma que não nos diz respeito:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\varphi \partial ^{\mu }\varphi -{\frac {1}{2}}m_{0}^{2}\varphi ^{2}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$ podem conter uma auto interação ${\displaystyle g\varphi ^{3}}$ ou interação com outros campos, como uma interação Yukawa ${\displaystyle g\ \varphi {\bar {\psi }}\psi }$. Deste Lagrange, usando equações de Euler-Lagrange, a equação do movimento segue:

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)}$

Onde, se ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}$ não contém acoplamentos derivados:

${\displaystyle j_{0}={\frac {\partial {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }}{\partial \varphi }}}$

Podemos esperar que o campo Antecessor, se assemelhe ao comportamento assintótico do campo livre como ${\displaystyle x^{0}\to -\infty }$, fazendo a suposição de que na interação posterior descrito pelo atual ${\displaystyle j_{0}}$ é seja desprezível, como partículas estão longe uma da outra. Esta hipótese é chamada de hipótese adiabático. No entanto auto interação nunca desaparece e, além de muitos outros efeitos, faz resulte na diferença entre a massa de Lagrange ${\displaystyle m_{0}}$ e a massa física ${\displaystyle m}$ do bóson ${\displaystyle \varphi }$. Este fato deve ser levado em consideração por reescrever a equação de movimento da seguinte forma:

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi (x)=j_{0}(x)+\left(m^{2}-m_{0}^{2}\right)\varphi (x)=j(x)}$

Esta equação pode ser resolvida utilizando formalmente a função retardada de Green's para o operador Klein-Gordon ${\displaystyle \partial ^{2}+m^{2}}$:

${\displaystyle \Delta _{\mathrm {ret} }(x)=i\theta \left(x^{0}\right)\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega _{k}}}\left(e^{-ik\cdot x}-e^{ik\cdot x}\right)_{k^{0}=\omega _{k}}\qquad \omega _{k}={\sqrt {\mathbf {k} ^{2}+m^{2}}}}$

o que nos permite dividir a interação do comportamento assintótico. A solução é:

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {Posterior} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {ret} }(x-y)j(y)}$

O fator ${\displaystyle {\sqrt {Z}}}$ é um fator normalizado que virá mais tarde à mão, o campo ${\displaystyle \varphi _{Posterior}}$ é uma solução da equação homogénea associada com a equação do movimento:

${\displaystyle \left(\partial ^{2}+m^{2}\right)\varphi _{\mathrm {Posterior} }(x)=0,}$

e, portanto, é um campo livre que descreve uma onda imperturbável de entrada, enquanto que o último termo da solução dá a perturbação da onda devido à interação.

O campo ${\displaystyle \varphi _{Antecessor}}$ é de fato o campo Antecessor que buscamos, como ele descrevemos o comportamento assintótico do campo, interagindo como ${\displaystyle x^{0}\to -\infty }$, embora esta declaração se resumirá mais precisa depois. É um campo escalar livre para ondas planas expandirem-se:

${\displaystyle \varphi _{\mathrm {Antecessor} }(x)=\int \mathrm {d} ^{3}k\left\{f_{k}(x)a_{\mathrm {Antecessor} }(\mathbf {k} )+f_{k}^{*}(x)a_{\mathrm {Antecessor} }^{\dagger }(\mathbf {k} )\right\}}$

onde:

${\displaystyle f_{k}(x)=\left.{\frac {e^{-ik\cdot x}}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}(2\omega _{k})^{\frac {1}{2}}}}\right|_{k^{0}=\omega _{k}}}$

A função inversa para os coeficientes em termos de campo podem ser facilmente obtidas e apresentadas de forma formal:

${\displaystyle a_{\mathrm {Antecessor} }(\mathbf {k} )=i\int \mathrm {d} ^{3}xf_{k}^{*}(x){\overleftrightarrow {\partial }}_{0}\varphi _{\mathrm {Antecessor} }(x)}$

Onde:

${\displaystyle {\mathrm {g} }{\overleftrightarrow {\partial }}_{0}f=\mathrm {g} \partial _{0}f-f\partial _{0}\mathrm {g} .}$

Os coeficientes de Fourier satisfazem a álgebra dos operadores de criação e aniquilação:

${\displaystyle [a_{\mathrm {Antecessor} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {Antecessor} }(\mathbf {q} )]=0;\quad [a_{\mathrm {Antecessor} }(\mathbf {p} ),a_{\mathrm {Antecessor} }^{\dagger }(\mathbf {q} )]=\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} );}$

e podem ser usados para construir o estado Antecessor de maneira usual:

${\displaystyle \left|k_{1},\ldots ,k_{n}\ \mathrm {Antecessor} \right\rangle ={\sqrt {2\omega _{k_{1}}}}a_{\mathrm {Antecessor} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{1})\ldots {\sqrt {2\omega _{k_{n}}}}a_{\mathrm {Antecessor} }^{\dagger }(\mathbf {k} _{n})|0\rangle }$

A relação entre o campo interagindo e o campo Antecessor não é muito simples de usar, e na presença anterior da função Green's nos deixa descrever algo como:

${\displaystyle \varphi (x)\sim {\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {Antecessor} }(x)\qquad \mathrm {como} \quad x^{0}\to -\infty }$

implicitamente a suposição se faz de que todas as interações tornam-se insignificantes quando as partículas estão longe uma da outra. No entanto, o atual ${\displaystyle j(x)}$ contém também interações auto como aquelas que produzem o deslocamento de massa de ${\displaystyle m_{0}}$ a ${\displaystyle m}$. Essas interações não desaparecem como as partículas se afastam, muito cuidado, deve-se estabelecer relações assintóticas entre o campo e interação do campo Antecessor.

A prescrição correta, desenvolvida por Lehmann, Symanzik e Zimmermann, requer dois estados normalizados ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ e ${\displaystyle |\beta \rangle }$, e uma solução normalizada ${\displaystyle f(x)}$ da equação de Klein–Gordon ${\displaystyle (\partial ^{2}+m^{2})f(x)=0}$. Com estas peças é possível afirmar uma relação assintótica correta e útil, mas muito fraca:

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial }}_{0}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial }}_{0}\varphi _{\mathrm {Antecessor} }(x)|\beta \rangle }$

O segundo elemento é de facto independente do tempo que pode ser mostrado pela derivação e lembrando-se que tanto ${\displaystyle \varphi _{\mathrm {Antecessor} }}$ e ${\displaystyle f}$ satisfazem a equação de Klein–Gordon.

Com as mudanças apropriadas os mesmos passos podem ser seguidos para construir um campo Posterior que constrói um estado Posterior. Em particular, a definição do campo Posterior é:

${\displaystyle \varphi (x)={\sqrt {Z}}\varphi _{\mathrm {Posterior} }(x)+\int \mathrm {d} ^{4}y\Delta _{\mathrm {adv} }(x-y)j(y)}$

onde ${\displaystyle \Delta _{\mathrm {adv} }(x-y)}$ é a função avançada de Green do operador de Klein-Gordon. A relação assintótica fraca entre campo Posterior e interação do campo é:

${\displaystyle \lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial }}_{0}\varphi (x)|\beta \rangle ={\sqrt {Z}}\int \mathrm {d} ^{3}x\langle \alpha |f(x){\overleftrightarrow {\partial }}_{0}\varphi _{\mathrm {Posterior} }(x)|\beta \rangle }$

A formula reduzida para o escalar

As relações assintóticas são tudo que necessitamos para obter a Fórmula da redução de LSZ. Por conveniência futura com o inicio com os elementos da matriz:^[1][2][3]

${\displaystyle {\mathcal {M}}=\langle \beta \ \mathrm {Posterior} |\mathrm {T} \varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|\alpha \ p\ \mathrm {Antecessor} \rangle }$

que é ligeiramente mais geral do que um elemento da matriz S. de fato, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ é o valor esperado do produto ordenado-tempo de um número de campos ${\displaystyle \varphi (y_{1})\cdots \varphi (y_{n})}$ entre um estado Posterior e um estado Antecessor. O estado Posterior pode conter qualquer coisa a partir do vácuo para um número indefinido de partículas, cujos momentos são resumidos pelo índice ${\displaystyle \beta }$. O estado Antecessor contém pelo menos uma partícula de impulso ${\displaystyle p}$, e, possivelmente, muitos outros, cujos momentos são resumidos pelo índice ${\displaystyle \alpha }$. Se não existem campos no produto ordenado-tempo, então ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ é, obviamente, um elemento da matriz S. A partícula com impulso ${\displaystyle p}$ pode ser 'extraiu-se' a partir do estado Antecessor pelo utilização de um operador de criação:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {Posterior} {\bigg |}\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {Antecessor} }^{\dagger }(\mathbf {p} ){\bigg |}\alpha \ \mathrm {Antecessor} \right\rangle }$

Com o pressuposto de que nenhuma partícula com momento ${\displaystyle p}$ está presente no estado Posterior, ou seja, estamos ignorando a frente espalhando, podemos escrever:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\sqrt {2\omega _{p}}}\ \left\langle \beta \ \mathrm {Posterior} {\bigg |}\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]a_{\mathrm {Antecessor} }^{\dagger }(\mathbf {p} )-a_{\mathrm {Posterior} }^{\dagger }(\mathbf {p} )\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]{\bigg |}\alpha \ \mathrm {Antecessor} \right\rangle }$

por causa ${\displaystyle a_{\mathrm {Posterior} }^{\dagger }}$ agindo sobre a esquerda dá zero. Expressando os operadores de construção em termos dos campos Antecessor e Posterior, temos:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {2\omega _{p}}}\ \int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\left\langle \beta \ \mathrm {Posterior} {\bigg |}\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi _{\mathrm {Antecessor} }(x)-\varphi _{\mathrm {Posterior} }(x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]{\bigg |}\alpha \ \mathrm {Antecessor} \right\rangle }$

Agora podemos usar a condição assintótica a escrever:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left\{\lim _{x^{0}\to -\infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {Posterior} |\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]\varphi (x)|\alpha \ \mathrm {Antecessor} \rangle -\lim _{x^{0}\to \infty }\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {Posterior} |\varphi (x)\mathrm {T} \left[\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha \ \mathrm {Antecessor} \rangle \right\}}$

Então, notamos que o campo ${\displaystyle \varphi (x)}$ pode ser trazido para o produto solicitado em tempo, uma vez que aparece no lado direito quando ${\displaystyle x^{0}\to \infty }$ e sobre a esquerda quando ${\displaystyle x^{0}\to \infty }$:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=-i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\left(\lim _{x^{0}\to -\infty }-\lim _{x^{0}\to \infty }\right)\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\langle \beta \ \mathrm {Posterior} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha \ \mathrm {Antecessor} \rangle }$

No seguinte, ${\displaystyle x}$ dependência no produto solicitado em tempo é o que importa, por isso, definir:

${\displaystyle \langle \beta \ \mathrm {Posterior} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha \ \mathrm {Antecessor} \rangle =\eta (x)}$

É fácil mostrar, através da realização explicitamente a integração vez que:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} (x^{0})\partial _{0}\int \mathrm {d} ^{3}xf_{p}(x){\overleftrightarrow {\partial _{0}}}\eta (x)}$

de modo que, por derivação de tempo explícito, temos:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}x\left\{f_{p}(x)\partial _{0}^{2}\eta (x)-\eta (x)\partial _{0}^{2}f_{p}(x)\right\}}$

Por sua definição, vemos que ${\displaystyle f_{p}(x)}$ é uma solução da equação de Klein-Gordon, o qual pode ser escrito como:

${\displaystyle \partial _{0}^{2}f_{p}(x)=\left(\Delta -m^{2}\right)f_{p}(x)}$

Substituindo na expressão para ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ e integrando por partes, chegamos a:

${\displaystyle {\mathcal {M}}=i{\sqrt {\frac {2\omega _{p}}{Z}}}\int \mathrm {d} ^{4}xf_{p}(x)\left(\partial _{0}^{2}-\Delta +m^{2}\right)\eta (x)}$

Isto é:

${\displaystyle {\mathcal {M}}={\frac {i}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\int \mathrm {d} ^{4}xe^{-ip\cdot x}\left(\Box +m^{2}\right)\langle \beta \ \mathrm {Posterior} |\mathrm {T} \left[\varphi (x)\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})\right]|\alpha \ \mathrm {Antecessor} \rangle }$

A partir deste resultado, e seguindo o mesmo caminho a outra partícula extrair a partir do estado Antecessor, que conduz à inserção de um outro campo no produto ordenado-tempo. Uma rotina muito semelhante pode extrair as partículas do estado Posterior, e os dois podem ser repetido para conseguir aspirar tanto a direita como a esquerda do produto ordenado do tempo, levando à fórmula geral:

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {Posterior} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {Antecessor} \rangle =\int \prod _{i=1}^{m}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}{\frac {ie^{-iq_{i}\cdot x_{i}}\left(\Box _{x_{i}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}y_{j}{\frac {ie^{ip_{j}\cdot y_{j}}\left(\Box _{y_{j}}+m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\langle 0|\mathrm {T} \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{m})\varphi (y_{1})\ldots \varphi (y_{n})|0\rangle }$

Qual é a fórmula de redução LSZ de Klein-Gordon para escalares. Ele ganha um aspecto muito mais bonito se for escrito usando a transformada de Fourier para função de correlação:

${\displaystyle \Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)=\int \prod _{i=1}^{n}\left\{\mathrm {d} ^{4}x_{i}e^{ip_{i}\cdot x_{i}}\right\}\langle 0|\mathrm {T} \ \varphi (x_{1})\ldots \varphi (x_{n})|0\rangle }$

Usando a transformada inversa para substituir na fórmula de redução LSZ, com algum esforço, o seguinte resultado pode ser obtido:

${\displaystyle \langle p_{1},\ldots ,p_{n}\ \mathrm {Posterior} |q_{1},\ldots ,q_{m}\ \mathrm {Antecessor} \rangle =\prod _{i=1}^{m}\left\{-{\frac {i\left(p_{i}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\prod _{j=1}^{n}\left\{-{\frac {i\left(q_{j}^{2}-m^{2}\right)}{(2\pi )^{\frac {3}{2}}Z^{\frac {1}{2}}}}\right\}\Gamma \left(p_{1},\ldots ,p_{n};-q_{1},\ldots ,-q_{m}\right)}$

Deixando de lado fatores de normalização, esta fórmula afirma que os elementos da matriz S são os resíduos dos pólos que surgem da transformada de Fourier. É a fórmula de LSZ, onde ${\displaystyle Z\,\!}$ é a constante de renormalização do campo.

Ver também

Referências

Bibliografia

1. Marcelo Otávio Caminha Gomes, Teoria Quântica dos Campos Vol. 39 , EdUSP ISBN 8-531-40635-8
2. Barton, G. Introduction to Dispersion Techniques in Field Theory. New York, W.A. Benjamin, 1965. OCLC 870782 (em inglês)
3. Gasiorowicz, S. Elementary Particle Physics , New York : Wiley, 1967. OCLC 636225894 (em inglês)
4. Kulish, P.P. e Faddeev, L. D. Asymptotic Conditions and Infrared Divergences in Quantum Electrodynamics, Kluwer Academic Publishers-Plenum Publishers doi:10.1007/BF01066485 ISSN 0040-5779 Livro ISSN 1573-9333 e-Livro (em inglês)
5. Roman, P. Introduction to Quantum Field Theory, New York : J. Wiley, ©1969. OCLC 299573264 (em inglês)
6. Schweber, S.S. An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory, Evanston, Ill. : Row, Peterson, 1961. OCLC 1478153 (em inglês)

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. v d e

• Portal da física
• Portal da matemática