Função afim

Uma função afim, também conhecida como função polinomial de grau 1 ou função polinomial de primeiro grau é uma função do tipo ${\displaystyle f(x)=ax+b,}$ cujo gráfico é uma reta não perpendicular ao eixo ${\displaystyle Ox.}$ Tal função também pode ser entendida como uma transformação linear (${\displaystyle Ax}$) seguida por uma translação (${\displaystyle +b}$).

${\displaystyle x\mapsto Ax+b}$

no caso finito-dimensional cada função afim é dada por uma matriz A e por um vetor B, que possam ser escritos como a matriz A com uma coluna extra do B. Fisicamente, uma função afim é a que preserva:

1. Colinearidade entre pontos, isto é, três pontos que se encontram em uma linha continuam a ser colineares após a transformação;
2. relações das distâncias ao longo de uma linha, isto é, para os pontos colineares distintos ${\displaystyle p_{1},p_{2},p_{3}}$, ${\displaystyle ||p_{2}-p_{1}||/||p_{3}-p_{2}||}$

Uma função afim é composta de um ou de diversos transformadores lineares. Diversas transformações lineares podem ser combinadas em uma única matriz, assim que a fórmula geral dada acima é ainda aplicável.

Em uma dimensão (ou seja, quando x e y são escalares), os termos A e b são chamados, respectivamente, de coeficiente angular e coeficiente linear.

 Definição formal

Uma função ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ chama-se função afim quando existe dois números reais ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ tal que ${\displaystyle f(x)=ax+b}$ e ${\displaystyle a\neq 0,}$ para todo ${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$ ^[1][2]

Coeficientes^[3]

Para facilitar a análise dessas funções, dizemos que o coeficiente "a" da função é o coeficiente angular ou declividade da reta. Esse coeficiente determina a tangente do ângulo da inclinação da reta que representa a função, no sentido anti-horário em relação do eixo das abcissas.

O coeficiente "b" determina o deslocamento da reta em relação à origem, por isso ele é conhecido como coeficiente linear da reta.

Função linear

Uma função linear é um caso particular da função afim onde ${\displaystyle a\neq 0}$ e ${\displaystyle b=0,}$ sendo, portanto, expressa como:

${\displaystyle f(x)=ax.}$

Veja na figura ao lado um exemplo de gráfico de função linear.

Um caso específico da função linear é a função identidade, onde ${\displaystyle a=1.}$ Logo a função identidade é expressa como:

${\displaystyle f(x)=x.}$

Observe na figura ao lado um exemplo de gráfico de função identidade.

Função linear e proporcionalidade

Uma das principais aplicações da função linear é a relação de proporção existente entre os elementos do domínio e da imagem, pois observamos que conforme variam os elementos do domínio, suas respectivas imagens variam na mesma proporção, sendo essa proporção o coeficiente angular da função, nesse caso chamado de taxa de variação.

Assim, seja a função linear ${\displaystyle f(x)=ax,}$ vemos que o conjunto dos pontos que representa a reta dessa função são os pontos do tipo ${\displaystyle (x,ax),}$ onde ${\displaystyle a}$ é a razão entre ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle x.}$ ^[4]

Essa relação será diretamente proporcional se a função for crescente e inversamente proporcional se a função for decrescente.

Crescimento ou decrescimento

Uma função afim pode ser crescente, decrescente, dependendo do valor do coeficiente angular. Uma função pode ainda ser constante, se a=0 e aí ela terá grau 0.

Crescente

Uma função afim é crescente quando seu coeficiente angular for positivo, ou seja, ${\displaystyle a>0.}$

Demonstração: ^[5]

Por definição, dizemos que uma função ${\displaystyle f:A\rightarrow {B}}$ definida por ${\displaystyle y=f(x)}$ é crescente no conjunto ${\displaystyle A_{1}\subset {A}}$ se, para dois valores quaisquer ${\displaystyle x_{1}}$ e ${\displaystyle x_{2}}$ pertencentes a ${\displaystyle A_{1},}$ com ${\displaystyle x_{1}<x_{2},}$ tivermos ${\displaystyle f(x_{1})<f(x_{2}).}$

Sintetizando: ${\displaystyle f}$ é crescente quanto:

${\displaystyle (\forall {x_{1}},x_{2})(x_{1}<x_{2}\Rightarrow {f(x_{1})<f(x_{2})})}$

Podemos reescrever isso como:

${\displaystyle (\forall {x_{1}}<x_{2})(x_{1}\neq {x_{2}}\Rightarrow {\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}>0)}$

Então, dada a função afim ${\displaystyle f(x)=ax+b,}$ dizemos que ${\displaystyle f(x)}$ é crescente se, e somente se:

${\displaystyle {\frac {(ax_{1}+b)-(ax_{2}+b)}{x_{1}-x_{2}}}>0,\forall {x_{1}}<{x_{2}}}$

Assim, podemos reescrever:

${\displaystyle {\frac {a(x_{1}-x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}>0\Leftrightarrow {a>0}.}$

Decrescente

Uma função afim é decrescente quando seu coeficiente angular for negativo,ou seja, ${\displaystyle a<0.}$

Demonstração:^[5]

De forma similar à função crescente, uma função é decrescente se obedecer à seguinte restrição:

${\displaystyle (\forall {x_{1}},x_{2})(x_{1}<x_{2}\Rightarrow {f(x_{1})>f(x_{2})})}$

Que é equivalente a dizer:

${\displaystyle (\forall {x_{1}}<x_{2})(x_{1}\neq {x_{2}}\Rightarrow {\frac {f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}<0)}$

Então, dada a função afim ${\displaystyle f(x)=ax+b,}$ dizemos que ${\displaystyle f(x)}$ é decrescente quando:

${\displaystyle {\frac {(ax_{1}+b)-(ax_{2}+b)}{x_{1}-x_{2}}}<0,\forall {x_{1}}<{x_{2}}}$

Reescrevendo isso, temos:

${\displaystyle {\frac {a(x_{1}-x_{2})}{x_{1}-x_{2}}}<0\Leftrightarrow {a<0}.}$

Constante

Uma função é constante (neste caso dizemos que ela não é afim) quando seu coeficiente angular for nulo, ou seja ${\displaystyle a=0.}$ Nesse caso a equação que define a função é dada por ${\displaystyle f(x)=b}$ e seu gráfico é uma reta paralela ao eixo ${\displaystyle Ox}$.

Zero

O zero de uma função afim (ou raízes da função) é o valor de ${\displaystyle x}$ para o qual a função é igual a zero. Geometricamente o zero de uma função afim é o ponto de corte no eixo das abcissas.

Para definir este ponto basta resolver a equação ${\displaystyle ax+b=0:}$

${\displaystyle ax+b=0\Rightarrow {x=-{\frac {b}{a}}}.}$

Logo o ponto de corte no eixo das abcissas é ${\displaystyle \left(-{\frac {b}{a}},0\right).}$

Toda e qualquer função afim também corta o eixo das ordenadas (eixo ${\displaystyle oy}$). Para definir este ponto de corte basta calcular ${\displaystyle f(0):}$

${\displaystyle f(0)=a.0+b=b.}$

Logo o ponto de corte no eixo y é ${\displaystyle (0,b).}$

Aplicações

As funções afins possuem diversas aplicações, em situações que apresentam crescimento ou decrescimento linear.

 Relação com a progressão aritmética

Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante.^[6]

Logo, por ter essa característica, vemos que o crescimento de uma P.A é linear e pode, portanto, ser representado por uma função afim.

Para chegar até a função afim de uma P.A. partiremos da fórmula do termo geral, que é: ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1).r.}$

Como buscamos conhecer um termo em função da sua posição em uma P.A., podemos reescrever a fórmula como:

${\displaystyle a(n)=a_{1}+(n-1).r}$^[7]

Temos, aplicando a propriedade distributiva e organizando os termos:

${\displaystyle a(n)=r.n+(a_{1}-r),}$

onde:

${\displaystyle a(n)}$ é a variável dependente; ${\displaystyle n}$ é a variável independente; ${\displaystyle r}$ é o coeficiente angular; ${\displaystyle (a_{1}-r)}$ é o coeficiente linear.

O domínio dessa função é o conjunto dos números naturais não nulos e a imagem é o conjunto dos números inteiros.

Exemplo:

Seja a progressão aritmética infinita ${\displaystyle (1,4,7,10,13,16,19,...),}$ vamos verificar se seus termos são definidos pela fórmula ${\displaystyle a(n)=r.n+(a_{1}-r).}$

Temos que ${\displaystyle r=3}$ e ${\displaystyle a_{1}=1.}$

Logo, a lei da função ${\displaystyle a(n)}$ é:

${\displaystyle a(n)=3.n+(1-3)\rightarrow {a(n)=3n-2}}$

Observe ao lado o gráfico da função ${\displaystyle a(n).}$   

 Relação com o movimento retilíneo uniforme

Situações que envolvem movimento em linha reta e com velocidade fixa podem ser estudadas utilizando funções afins. Para isso é preciso analisar a posição do objeto que se movimenta em função do tempo.

A física define a velocidade de um objeto como a razão entre a variação da distância pela variação do tempo, como observamos na fórmula abaixo:

${\displaystyle v={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {s_{f}-s_{i}}{t_{f}-t_{i}}}}$,^[8]

onde:

${\displaystyle s_{f}}$ é a distância final; ${\displaystyle s_{i}}$ é a distância inicial; ${\displaystyle t_{f}}$ a distância final e ${\displaystyle s_{i}}$ a distância inicial.

Podemos simplificar a expressão, pois na maioria dos casos temos como ponto de partida um tempo inicial nulo, ${\displaystyle t_{i}=0.}$

Logo é possível modificar a expressão utilizando algebrismos para encontrar uma função afim de posição em função do tempo.

${\displaystyle v={\frac {s_{f}-s_{i}}{t_{f}-0}}\longrightarrow {v.{t_{f}}}=s_{f}-s_{i}.}$

Podemos reescrever de modo a obter ${\displaystyle s_{f}:}$

${\displaystyle s_{f}=v.{t_{f}}+s_{i}}$

Por fim basta renomear os termos para melhorar a lei da função. Assim dissemos que ${\displaystyle s_{f}=s(t),}$ ${\displaystyle t_{f}=t}$ e ${\displaystyle s_{i}=s.}$

Logo a lei da função posição é:

${\displaystyle s(t)=v.t+s}$,^[9]

onde:

• ${\displaystyle s(t)}$ é a posição após o tempo ${\displaystyle t;}$        
• ${\displaystyle v}$ é a velocidade e o coeficiente angular da função;        
• ${\displaystyle t}$ é o tempo que dura o deslocamento;        
• ${\displaystyle s}$ é a posição inicial e também o coeficiente linear da função.      

Veja também

• Função não expansiva
• Função identidade
• Transformação geométrica
• Mapeamento contrativo

Referências

Bibliografia

• Iezzi, Gelson; Murakami, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar,1: conjuntos, funções. 8. ed. São Paulo: Atual, 2004.