Integral Gaussiana

O gráfico de ƒ(x) = e−x2 e a área entre a função e o eixo x, que vale π {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\pi }}} .

A Integral Gaussiana, também conhecida como a Integral de Euler-Poisson é a integral da função Gaussiana e−x2 em toda a reta real. Seu nome é dado em homenagem ao matemático e físico Carl Friedrich Gauss. A integral vale:

∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}

Essa integral tem diversas aplicações em ciências exatas, como física ou estatística, visto que a distribuição normal descreve uma gama imensa de fenômenos de interesse.

A mesma integral com limites finitos é chada função erro. Apesar da função erro não poder ser exprimida em termos de funções elementares, como pode ser demonstrado pelo algoritmo de Risch, a integral gaussiana pode ser calculada explicitamente sobre toda a reta. Em outros termos, não há uma integral indefinida elementar para ∫ e − x 2 d x {\displaystyle \scriptstyle \int e^{-x^{2}}\,dx} , mas a integral definida ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \scriptstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx} pode ser calculada.

Generalizações

A integral de uma função gaussiana

A integral de uma função gaussiana arbitrária é obtida por simples troca de variáveis

∫ − ∞ ∞ e − ( x + b ) 2 / c 2 d x = c π . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x+b)^{2}/c^{2}}\,dx=c{\sqrt {\pi }}.}

ou de forma equivalente

∫ − ∞ ∞ e − x 2 + b x + c d x = π e b 2 / 4 + c , {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}+bx+c}\,dx={\sqrt {\pi }}\,e^{b^{2}/4+c},}

Demonstração

Em coordenadas polares

Uma forma simples se calcular, cuja ideia remonta a Siméon Denis Poisson[1] é considerar a função e−(x2 + y2) = e−r2 no plano R2, e calcular a mesma integral de duas formas:

( ∫ e − x 2 d x ) 2 ; {\displaystyle \left(\int e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2};}
  • por outro, utilizando coordenadas polares, a integral pode ser calculada e vale π {\displaystyle \pi } .

Comparando esses dois cálculos, demonstra-se o resultado.

Resolução

A resolução da Integral Gaussiana pode ser dada da seguinte forma:

Denotaremos a integral por I {\displaystyle I} , como se segue:

I = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x . {\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.}

Essa integral é mais facilmente resolvida se a multiplicarmos pela Integral

∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy.}

Observemos que essa multiplicação nos dá I 2 {\displaystyle I^{2}} , pois os valores das duas integrais em y {\displaystyle y} e em x {\displaystyle x} são exatamente os mesmos.

I 2 = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − x 2 e − y 2 d x d y {\displaystyle I^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}e^{-y^{2}}\,dx\,dy}
I 2 = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − x 2 − y 2 d x d y {\displaystyle I^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy} .

A etapa seguinte consiste em mudarmos para coordenadas polares, observando que − x 2 − y 2 = − ( x 2 + y 2 ) = − r 2 {\displaystyle -x^{2}-y^{2}=-(x^{2}+y^{2})=-r^{2}} . É coerente notar que a região de integração é todo o plano x y {\displaystyle xy} , portanto r {\displaystyle r} deve percorrer de 0 até ∞ {\displaystyle {\infty }} e o ângulo θ {\displaystyle {\theta }} de 0 à 2 π {\displaystyle {\pi }} . Assim a integral

I 2 = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − x 2 − y 2 d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ {\displaystyle I^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d{\theta }}

é mais fácil de ser calculada, pois aparece um fator r {\displaystyle r} que, utilizando o método de substituição de variáveis (ver Métodos de Integração) , será cancelado com o quociente 2 r {\displaystyle r} . Podemos recorrer ao Teorema de Fubini calculando primeiramente a integral em r {\displaystyle r} e depois integrando o resultado em θ {\displaystyle {\theta }} da seguinte forma :

u = − r 2 {\displaystyle u=-r^{2}}
d u = − 2 r d r {\displaystyle du=-2rdr}
− d u 2 r = d r {\displaystyle -{\frac {du}{2r}}=dr}
∫ 0 ∞ e − r 2 r d r   = − ∫ 0 ∞ e u r d u 2 r   = − 1 2 ∫ 0 ∞ e u d u   = − 1 2 e − r 2 | 0 ∞ = − 1 2 ( 0 − 1 ) = 1 2 . {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\ =-\int _{0}^{\infty }e^{u}r\,{\frac {du}{2r}}\ =-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{u}\,du\ =-{\frac {1}{2}}e^{-r^{2}}|_{0}^{\infty }=-{\frac {1}{2}}(0-1)={\frac {1}{2}}.}

Teremos então:

∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ = ∫ 0 2 π 1 2 d θ = 1 2 ( 2 π − 0 ) = π . {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d{\theta }=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}\,d{\theta }={\frac {1}{2}}({2\pi }-0)={\pi }.}

Portanto, finalizando a resolução, concluímos que:

I 2 = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − x 2 − y 2 d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ = π {\displaystyle I^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d{\theta }={\pi }}
I = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π . {\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}

Ver também

Referências

  1. ↑ «The probability integral» (PDF) (em inglês). Universidade de York. Consultado em 21 de março de 2023 

Ligações externas

  • Weisstein, Eric W. «Gaussian Integral» (em inglês). MathWorld 
  • v
  • d
  • e
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Métodos
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  • Portal de probabilidade e estatística