Métodos de integração

No cálculo integral, os métodos ou técnicas de integração são procedimentos analíticos utilizados para encontrar antiderivadas de funções.^[1][2] Algumas das técnicas mais conhecidas são as de integração por substituição, partes, e frações parciais.

Integração por substituição

Considere a seguinte integral:

${\displaystyle \int f(g(x))g'(x)dx}$

A técnica de integração por substituição consiste em aplicar a mudança de variáveis ${\displaystyle u=g(x)}$. Desta forma, ${\displaystyle du=g'(x)dx}$ o que, substituindo na integral acima, fornece:

${\displaystyle \int f(u)du}$

Esta técnica é consequência da regra da cadeia para derivadas.^[1]

Exemplo

Considere-os:

${\displaystyle \int {\frac {2x}{x^{2}+5}}\,dx}$

Tomando ${\displaystyle u=x^{2}+5}$, temos ${\displaystyle du=2x\,dx}$. Segue que:

${\displaystyle \int {\frac {2x}{x^{2}+5}}\,dx=\int {\frac {du}{u}}=\ln |u|+C=\ln |x^{2}+5|+C}$.

Integração por partes

A técnica de integração por partes é uma consequência da regra do produto para derivadas. Ela estabelece que:^[1][2]

${\displaystyle \int u(x)\,dv=u(x)v(x)-\int v(x)\,du}$.

Para integrais definidas, a fórmula análoga é:

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\,\mathrm {d} x={\Bigl [}u(x)v(x){\Bigr ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\,\mathrm {d} x}$

Exemplo

Considere a integral definida:

${\displaystyle \int _{1}^{2}x\ln(x)\,\mathrm {d} x}$.

Tomando:

${\displaystyle {\begin{aligned}u=\ln(x)&\Rightarrow du={\frac {1}{x}}dx\\dv=xdx&\Rightarrow v={\frac {x^{2}}{2}}+C\end{aligned}}}$

Seque, da integração por partes que:

${\displaystyle \int _{1}^{2}x\ln(x)\,\mathrm {d} x=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln(x)\right]_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}x\,\mathrm {d} x=2\ln(2)-{\frac {3}{4}}}$.

Substituições trigonométricas

As substituições trigonométricas são muitas vezes úteis para calcular integrais contendo expressões da forma ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}$, ou ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$. Nestes casos, as substituições sugeridas são:^[1][2]

Expressão	Substituição	Elemento infenitesimal	Expressão resultante
${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}$	${\displaystyle x=a{\text{sen }}u}$	${\displaystyle dx=a\cos u\,du}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}=a\cos u}$
${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}$	${\displaystyle x=a{\text{tg }}u}$	${\displaystyle dx=a\sec ^{2}u\,du}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}=a\sec u}$
${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}$	${\displaystyle x=a\sec u}$	${\displaystyle dx=a\sec u{\text{tg }}u\,du}$	${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-a^{2}}}=a{\text{tg }}u}$

Exemplo

Considere a integral ${\displaystyle \int {\sqrt {16-x^{2}}}dx}$. Usando a substituição ${\displaystyle x=4{\text{sen }}\theta }$, obtem-se ${\displaystyle dx=4\cos \theta \ d\theta }$. Segue que:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\sqrt {16-x^{2}}}dx&=\int {\sqrt {16(1-{\text{sen}}^{2}\theta )}}4\cos \theta \ d\theta \\&=16\int \cos ^{2}\theta \ d\theta \end{aligned}}}$.

A integral de cosseno ao quadrado pode ser calculada utilizando integração por partes, tomando:

${\displaystyle u=cos\theta }$, ${\displaystyle dv=cos\theta }$,

temos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{2}\theta \ d\theta &=\cos \theta {\text{sen }}\theta +\int {\text{sen}}^{2}\theta \ d\theta \\&=\cos \theta {\text{sen }}\theta +\int d\theta -\int \cos ^{2}\theta \ d\theta \end{aligned}}}$

${\displaystyle \Rightarrow \int \cos ^{2}\theta \ d\theta ={\frac {\cos \theta {\text{sen }}\theta }{2}}+{\frac {\theta }{2}}}$

Daí, segue que:

${\displaystyle \int {\sqrt {16-x^{2}}}dx=16\left({\frac {\cos \theta {\text{sen }}\theta }{2}}+{\frac {\theta }{2}}\right)}$

Da substituição feita ${\displaystyle x=4{\text{sen }}\theta }$ concluímos que:

${\displaystyle \int {\sqrt {16-x^{2}}}dx={\frac {x{\sqrt {16-x^{2}}}}{2}}+8{\text{arc sen }}{\frac {x}{4}}+C}$

onde, ${\displaystyle C}$ é uma constante indeterminada.

Integração por frações parciais

A técnica de frações parciais é utilizada para o cálculo de integrais de funções racionais.^[1][2][3] Considere:

${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}\,dx}$

onde, ${\displaystyle P(x)}$ e ${\displaystyle Q(x)}$ são polinômios. Notamos que, por divisão de polinômios, encontrar polinômios ${\displaystyle S(x)}$ e ${\displaystyle R(x)}$ tais que:

${\displaystyle {\frac {P(x)}{Q(x)}}=S(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)}}}$

sendo ${\displaystyle R(x)}$ um polinômio de grau menor que ${\displaystyle Q(x)}$. O método segue da fatoração de ${\displaystyle Q(x)}$ em polinômios irredutíveis, i.e. escrevemos:

${\displaystyle Q(x)=(a_{1}x+b_{1})^{l_{1}}\cdots (a_{n}x+b_{n})^{l_{n}}(c_{1}x^{2}+d_{1}x+e_{1})^{p_{1}}\cdots (c_{m}x^{2}+d_{m}x+e_{m})^{p_{m}}}$.

Com isso, podemos encontrar constantes ${\displaystyle A_{1,1},\ldots ,A_{n,l_{1}\cdots l_{n}}}$, ${\displaystyle B_{1,1},\ldots ,B_{m,p_{1}\cdots p_{n}}}$ e ${\displaystyle C_{1,1},\ldots ,C_{m,p_{1}\cdots p_{n}}}$ tais que:

${\displaystyle {\frac {R(x)}{Q(x)}}=\sum _{k=0}^{l_{1}-1}{\frac {A_{1,k}}{(a_{1}x+b_{1})^{l1-k}}}+\cdots +\sum _{k=0}^{l_{n}-1}{\frac {A_{n,k}}{(a_{n}x+b_{n})^{l_{n}-k}}}+\sum _{k=0}^{p_{1}-1}{\frac {B_{1,k}x+C_{1,k}}{(c_{1}x^{2}+d_{1}x+e_{1})^{p_{1}-k}}}+\cdots +\sum _{k=0}^{p_{m}-1}{\frac {B_{m,k}x+C_{m,k}}{(c_{m}x^{2}+d_{m}x+e_{m})^{p_{m}-k}}}}$.

Em resumo, temos:

${\displaystyle \int {\frac {P(x)}{Q(x)}}\,dx=\int S(x)\,dx+\int {\frac {R(x)}{Q(x)}}\,dx}$

que consiste na integração do polinômio ${\displaystyle S(x)}$ e de uma série de funções racionais das formas ${\displaystyle {\frac {A}{(ax+b)^{l}}}}$ ou ${\displaystyle {\frac {Bx+C}{(cx^{2}+dx+e)^{p}}}}$. As integrais destas, por sua vez, podem ser calculadas pelos métodos de integração discutidos acima.

Exemplo

Considere:

${\displaystyle \int {\frac {1}{x^{2}-5x}}\,dx}$

Temos ${\displaystyle Q(x)=x^{2}-5x=x(x-5)}$, logo:

${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}-5x}}={\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x-5}}}$

donde encontramos que ${\displaystyle 1=A(x-5)+Bx}$, i.e. ${\displaystyle A=-1/5}$ e ${\displaystyle B=1/5}$. Daí:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {1}{x^{2}-5x}}\,dx&=-{\frac {1}{5}}\int {\frac {dx}{x}}+{\frac {1}{5}}\int {\frac {dx}{x-5}}&=-{\frac {1}{5}}\ln |x|+{\frac {1}{5}}\ln |x-5|+C&={\frac {1}{5}}\ln \left|{\frac {x-5}{x}}\right|+C\end{aligned}}}$

Ver também

• Tabela de integrais

Referências