Matriz unitária

Em matemática, uma matriz unitária é uma matriz complexa n por n U que satisfaz a condição

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I_{n}\,}$

onde ${\displaystyle I_{n}\,}$ é a matriz identidade e ${\displaystyle U^{*}\,}$ é o transposto conjugado (também chamado operador adjunto ou adjunto Hermitiano) de U. Note-se que esta condição afirma que a matriz U é unitária se e somente se tem uma inversa a qual é igual a seu transposto conjugado ${\displaystyle U^{*}\,}$

${\displaystyle U^{-1}=U^{*}\,\;}$

Uma matriz unitária na qual todos os valores são reais é a mesma coisa que uma matriz ortogonal. Assim como uma matriz ortogonal G preserva o produto interno (real) de dois vetores reais,

${\displaystyle \langle Gx,Gy\rangle =\langle x,y\rangle }$

assim também uma matriz unitária U satisfaz

${\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle }$

para todos os vetores complexos x e y, onde ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ estabelece-se agora para o produto interno padrão sobre Cⁿ. Se ${\displaystyle U\,}$ é uma matriz n por n então são todas equivalentes as seguintes consições:

1. ${\displaystyle U\,}$ é unitária
2. ${\displaystyle U^{*}\,}$ é unitária
3. as colunas de ${\displaystyle U\,}$ formam uma base ortonormal de Cⁿ com respeito ao seu produto interno
4. as linhas de ${\displaystyle U\,}$ formam uma base ortonormal de Cⁿ com respeito a este produto interno
5. ${\displaystyle U\,}$ é uma isometria com respeito à norma de seu produto interno

Decorre da propriedade de isometricidade que todos os valores próprios de uma matriz unitária são números de valor absoluto 1 (i.e., eles residem sobre o círculo unitário centrado no 0 no plano complexo). O mesmo é verdade para o determinante.

Todas as matrizes unitárias são normais, e o teorema espectral portanto aplica-se a elas. Então cada matriz unitária U tem uma decomposição da forma

${\displaystyle U=V\Sigma V^{*}\;}$

onde V é unitária, e ${\displaystyle \Sigma }$ é diagonal e unitária.

Para cada n, o conjunto de todas as matrizes unitárias n por n com multiplicação de matrizes formam um grupo.

Propriedades das matrizes unitárias

• ${\displaystyle U}$ é invertível
• ${\displaystyle U^{-1}=U^{*}}$
• |det(${\displaystyle U}$)| = 1
• ${\displaystyle U^{*}}$ é unitária
• Matrizes unitárias preservam o comprimento ${\displaystyle \|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}}$
• Matrizes unitárias tem valores próprios complexos de módulo 1.^[1]

Ver também

• Matriz transposta conjugada
• Matriz hermitiana
• Matriz simplética
• Grupo unitário
• Grupo especial unitário
• Operador unitário
• Defeito de uma matriz unitária
• Decomposição de uma matriz

Referências

Ligações externas

• «Matriz Unitária em Mathworld»