Operador numérico

Na mecânica quântica, para sistemas onde o número total de partículas não podem ser preservadas, o operador número é o observável que conta o número de partículas.

O número operador atua sobre o espaço de Fock. Deixe

| Ψ ⟩ ν = | ϕ 1 , ϕ 2 , ⋯ , ϕ n ⟩ ν {\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }}

ser um estado de Fock, composto de uma única estado das partícula | ϕ i ⟩ {\displaystyle |\phi _{i}\rangle } elaborado a partir de uma base do espaço subjacente de Hilbert do espaço de Fock. Dada a correspondente criação e aniquilação de operadores[1] a † ( ϕ i ) {\displaystyle a^{\dagger }(\phi _{i})} e a ( ϕ i ) {\displaystyle a(\phi _{i})\,} definimos o número operador por

N i ^   = d e f   a † ( ϕ i ) a ( ϕ i ) {\displaystyle {\hat {N_{i}}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})}

e temos

N i ^ | Ψ ⟩ ν = N i | Ψ ⟩ ν {\displaystyle {\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }}

onde N i {\displaystyle N_{i}} é o número de partículas no estado | ϕ i ⟩ {\displaystyle |\phi _{i}\rangle } . A igualdade acima pode ser comprovado observando que

a ( ϕ i ) | ϕ 1 , ϕ 2 , ⋯ , ϕ i − 1 , ϕ i , ϕ i + 1 , ⋯ , ϕ n ⟩ ν = N i | ϕ 1 , ϕ 2 , ⋯ , ϕ i − 1 , ϕ i + 1 , ⋯ , ϕ n ⟩ ν a † ( ϕ i ) | ϕ 1 , ϕ 2 , ⋯ , ϕ i − 1 , ϕ i + 1 , ⋯ , ϕ n ⟩ ν = N i | ϕ 1 , ϕ 2 , ⋯ , ϕ i − 1 , ϕ i , ϕ i + 1 , ⋯ , ϕ n ⟩ ν {\displaystyle {\begin{matrix}a(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\a^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\end{matrix}}}

depois

N i ^ | Ψ ⟩ ν = a † ( ϕ i ) a ( ϕ i ) | ϕ 1 , ϕ 2 , ⋯ , ϕ i − 1 , ϕ i , ϕ i + 1 , ⋯ , ϕ n ⟩ ν = N i a † ( ϕ i ) | ϕ 1 , ϕ 2 , ⋯ , ϕ i − 1 , ϕ i + 1 , ⋯ , ϕ n ⟩ ν = N i N i | ϕ 1 , ϕ 2 , ⋯ , ϕ i − 1 , ϕ i , ϕ i + 1 , ⋯ , ϕ n ⟩ ν = N i | Ψ ⟩ ν {\displaystyle {\begin{matrix}{\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}a^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=&{\sqrt {N_{i}}}{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=&N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }\\\end{matrix}}}

Veja também

Referências

  1. ↑ Feynman, Richard P. (1998) [1972]. Statistical Mechanics: A Set of Lectures 2nd ed. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-36076-9 

Bibliografia

  • Bruus, Henrik, Flensberg, Karsten. Many-body Quantum Theory in Condensed Matter Physics: An Introduction. [S.l.: s.n.] ISBN 0-19-856633-6  !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link) !CS1 manut: Nomes múltiplos: lista de autores (link)
  • Segunda quantização notas por Fradkin