Paralelogramo

Um paralelogramo é um polígono de quatro lados (quadrilátero) cujos lados opostos são paralelos. Por consequência, tem ângulos opostos e lados opostos congruentes.^[1][2]

Definição

Um paralelogramo é um quadrilátero plano convexo cujos lados opostos são paralelos. Um paralelogramo também é qualquer retângulo que passou pelo processo de Transformação de cisalhamento em geometria plana.

Elementos

Um paralelogramo ${\displaystyle ABCD}$ tem:^[1][2]

• quatro lados - os segmentos de reta ${\displaystyle {\overline {AB}}}$, ${\displaystyle {\overline {BC}}}$, ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ e ${\displaystyle {\overline {DA}}}$;
• quatro vértices - os pontos ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ e ${\displaystyle D}$;
• quatro ângulos internos - os ângulos ${\displaystyle B{\hat {A}}D}$, ${\displaystyle A{\hat {B}}C}$, ${\displaystyle B{\hat {C}}D}$, ${\displaystyle C{\hat {D}}A}$;
• quatro ângulos externos - os respectivos ângulos suplementares dos ângulos internos;
• duas diagonais - os segmentos de reta ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ e ${\displaystyle {\overline {BD}}}$.

Propriedades

Um paralelogramo possui:^[1][2]

1. lados opostos congruentes;
2. ângulos opostos congruentes;
3. suas diagonais interceptam-se nos seus respectivos pontos médios;
4. ângulos colaterais suplementares;
5. a soma dos ângulos internos igual a ${\displaystyle 360^{\circ }}$;
6. a soma dos ângulos externos igual a ${\displaystyle 360^{\circ }}$;

Observamos que todo quadrilátero convexo plano que possui uma das propriedades 1., 2. ou 3. é um paralelogramo. Existe, portanto, uma reciprocidade em relação a cada uma destas propriedades com a definição de paralelogramo dada acima.

Além disso, notamos que qualquer diagonal de um paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes.

Demonstrações das propriedades^[1]

1. Lados opostos congruentes

Dado o paralelogramo ${\displaystyle ABCD}$, mostraremos que ${\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {DC}}}$ e ${\displaystyle {\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}}$. Para tanto, traçamos a diagonal ${\displaystyle {\overline {AC}}}$. Como ${\displaystyle {\overline {AB}}/\!/{\overline {DC}}}$ e ${\displaystyle {\overline {AD}}/\!/{\overline {BC}}}$, tomando ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AC}}}$ como transversal temos que ${\displaystyle D{\hat {A}}C\equiv B{\hat {C}}A}$ (alternos internos) e ${\displaystyle D{\hat {C}}A\equiv B{\hat {A}}C}$ (alternos internos). Assim, pelo caso de congruência de triângulos ângulo, lado, ângulo (ALA) temos:

${\displaystyle \triangle ADC\equiv \triangle CBA\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}D{\hat {A}}C\equiv B{\hat {C}}A\\{\overline {AC}}\equiv {\overline {CA}}\\D{\hat {C}}A\equiv B{\hat {A}}C\end{matrix}}\right.\Rightarrow {\overline {AB}}\equiv {\overline {DC}}{\text{ e }}{\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}.}$

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero ${\displaystyle ABCD}$ convexo plano, cujos lados opostos sejam congruentes é um paralelogramo. Com efeito, pela congruência de triângulos lado-lado-lado (LLL), temos que ${\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {DC}}}$ e ${\displaystyle {\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}}$, implica ${\displaystyle \triangle ADC\equiv \triangle ABC}$. Logo, são congruentes os ângulos ${\displaystyle B{\hat {A}}C}$ e ${\displaystyle A{\hat {C}}D}$, o que implica ${\displaystyle {\overline {AB}}\parallel {\overline {CD}}}$. Um raciocínio análogo mostra que ${\displaystyle {\overline {AD}}\parallel {\overline {BC}}}$. Ou seja, lados opostos congruentes implica lados opostos paralelos. Isso conclui esta demonstração.

2. Ângulos opostos congruentes

Dado o paralelogramo ${\displaystyle ABCD}$, mostraremos que ${\displaystyle B{\hat {A}}D\equiv B{\hat {C}}D}$ e ${\displaystyle A{\hat {B}}C\equiv A{\hat {D}}C}$. A partir da demostração anterior temos que:

${\displaystyle (1)\quad D{\hat {A}}C\equiv B{\hat {C}}A}$

e

${\displaystyle (2)\quad D{\hat {C}}A\equiv B{\hat {A}}C}$.

Como ${\displaystyle B{\hat {A}}D=B{\hat {A}}C+D{\hat {A}}C}$ então substituindo (2) em (3) temos:

${\displaystyle (3)\quad B{\hat {A}}D=D{\hat {C}}A+D{\hat {A}}C}$.

E, temos ainda ${\displaystyle B{\hat {C}}D=B{\hat {C}}A+D{\hat {C}}A}$, que usando (1) fornece:

${\displaystyle (4)\quad B{\hat {C}}D=D{\hat {A}}C+D{\hat {C}}A}$.

De (3) e (4), concluímos que ${\displaystyle B{\hat {A}}D\equiv B{\hat {C}}D}$. Para o caso ${\displaystyle A{\hat {B}}C\equiv A{\hat {D}}C}$ o raciocínio é análogo.

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero ${\displaystyle ABCD}$ convexo plano, cujos ângulos opostos são congruentes é um paralelogramo. Com efeito, temos ${\displaystyle B{\hat {A}}D\equiv B{\hat {C}}D}$ e ${\displaystyle A{\hat {D}}C\equiv A{\hat {B}}C}$, logo ${\displaystyle B{\hat {A}}D+A{\hat {D}}C=A{\hat {B}}C+B{\hat {C}}D}$. Como ${\displaystyle B{\hat {A}}D+A{\hat {D}}C+A{\hat {B}}C+B{\hat {C}}D=360^{\circ }}$, segue que ${\displaystyle B{\hat {A}}D+A{\hat {D}}C=180^{\circ }}$. Portanto, ${\displaystyle {\overline {AB}}\parallel {\overline {CD}}}$. Um raciocínio análogo prova que ${\displaystyle {\overline {AD}}\parallel {\overline {BC}}}$. Isso completa a prova.

3. Diagonais interceptam-se nos seus respectivos pontos médios

Seja ${\displaystyle ABCD}$ um paralelogramo e consideremos suas diagonais ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ e ${\displaystyle {\overline {BD}}}$. Denotamos por ${\displaystyle E}$ a interseção destas diagonais. Como ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AB}}}$ e ${\displaystyle {\overleftrightarrow {CD}}}$ são paralelas, temos que os ângulos ${\displaystyle C{\hat {D}}E}$ e ${\displaystyle A{\hat {B}}E}$ são congruentes (ângulos alternos internos). Pelo mesmo motivo, são congruentes os ângulos ${\displaystyle B{\hat {A}}E}$ e ${\displaystyle D{\hat {C}}E}$. Como ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ e ${\displaystyle {\overline {CD}}}$ são congruentes, pela congruência ângulo-lado-ângulo (ALA) de triângulos, temos que:

${\displaystyle \triangle CDE\equiv \triangle ABE\Rightarrow \left\{{\begin{matrix}C{\hat {D}}E\equiv A{\hat {B}}E\\{\overline {CD}}\equiv {\overline {AB}}\\D{\hat {C}}E\equiv B{\hat {A}}E\end{matrix}}\right.\Rightarrow {\overline {AE}}\equiv {\overline {CE}}{\text{ e }}{\overline {DE}}\equiv {\overline {EB}}.}$

Assim temos que ${\displaystyle E}$ é ponto médio de ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ e ${\displaystyle {\overline {BD}}}$, logo ${\displaystyle E}$ é ponto médio e intersecção das diagonais.

Recíproca

Mostraremos que todo quadrilátero ${\displaystyle ABCD}$ plano convexo, cujas diagonais interceptam-se nos seus pontos médios é um paralelogramo. Com efeito, seja ${\displaystyle E}$ o ponto de interseção das diagonais ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ e ${\displaystyle {\overline {BD}}}$. Como ${\displaystyle {\overline {AE}}\equiv {\overline {CE}}}$, ${\displaystyle {\overline {BE}}\equiv {\overline {DE}}}$ e ${\displaystyle A{\hat {E}}B\equiv C{\hat {E}}D}$, temos da congruência de triângulos lado-ângulo-lado (LAL) que ${\displaystyle \triangle ABE\equiv \triangle CDE}$. Donde seque que ${\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {CD}}}$. Analogamente, vemos que ${\displaystyle {\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}}$. Agora, da recíproca da propriedade 1. (lados opostos congruentes), temos que os lados opostos são paralelos, como queríamos demonstrar.

4. Ângulos consecutivos suplementares

Seja ${\displaystyle ABCD}$ um paralelogramo. Mostraremos que os ângulos consecutivos ${\displaystyle C{\hat {D}}A}$ e ${\displaystyle B{\hat {A}}D}$ são suplementares. Com efeito, como ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AB}}}$ e ${\displaystyle {\overleftrightarrow {CD}}}$ são paralelas e ${\displaystyle {\overleftrightarrow {AD}}}$ é uma transversal, temos que ${\displaystyle C{\hat {D}}A\equiv B{\hat {A}}E}$ (1) (ângulos correspondentes). Vemos, imediatamente, que ${\displaystyle B{\hat {A}}E}$ e ${\displaystyle B{\hat {A}}D}$ são suplementares, ou seja:

${\displaystyle B{\hat {A}}E+B{\hat {A}}D=180^{\circ }}$ (2)

e substituindo (1) em (2) temos:

${\displaystyle C{\hat {D}}A+B{\hat {A}}D=180^{\circ }}$

como queríamos demonstrar. As demonstrações para os demais ângulos consecutivos são análogas.

5. Soma dos ângulos internos

Segue imediatamente da propriedade 4. que a soma dos ângulos internos de um paralelogramo é ${\displaystyle 360^{\circ }}$.

6. Soma dos ângulos externos

Uma vez que em um paralelogramo os lados opostos são paralelos e os ângulos internos consecutivos são suplementares, temos que os ângulos externos consecutivos também são suplementares. Como são quatro, temos que a soma dos ângulos externos é ${\displaystyle 360^{\circ }}$.

Perímetro

Denotando por ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ os comprimentos de dois de seus lados não-paralelos, seu perímetro pode ser calculado através da fórmula abaixo:

${\displaystyle P=2(a+b)}$

Área

A área de um paralelogramo é dada por:^[1]

${\displaystyle A=b\cdot h}$

onde, ${\displaystyle b}$ é o comprimento de qualquer um de seus lados e ${\displaystyle h}$ é a altura relativa a este lado, i.e. o comprimento do segmento de reta perpendicular que liga este lado ao seu oposto.

Equivalentemente, temos:^[2]

${\displaystyle A=a\cdot b\cdot \operatorname {sen} \alpha }$

onde, ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ são os comprimentos de dois lados adjacentes e ${\displaystyle \alpha }$ é o ângulo definido por estes lados.

Ou, ainda, a área pode ser calculado por:

${\displaystyle A={\frac {d_{1}\cdot d_{2}\cdot \operatorname {sen} \alpha }{2}}}$

onde, ${\displaystyle d_{1}}$ e ${\displaystyle d_{2}}$ são os comprimentos das diagonais do paralelogramo e ${\displaystyle \alpha }$ é um dos ângulos definido pela interseção das diagonais. Com efeito, seja ${\displaystyle ABCD}$ um paralelogramo (veja figura ao lado). Suas diagonais se interceptam em um ponto ${\displaystyle E}$ determinando quatro triângulos ${\displaystyle AEB}$, ${\displaystyle BEC}$, ${\displaystyle CED}$, ${\displaystyle DEA}$. Do fato de que lados opostos de um paralelogramo serem congruentes e de que ${\displaystyle E}$ é ponto médio de ambas diagonais, temos que os triângulos ${\displaystyle AEB}$ e ${\displaystyle CED}$ são congruentes, assim como os triângulos ${\displaystyle BEC}$ e ${\displaystyle DEA}$. Notamos que a área do paralelogramo é a soma das áreas dos quatro triângulos. Ou seja, denotando por ${\displaystyle d_{1}}$ e ${\displaystyle d_{2}}$ os comprimentos das diagonais ${\displaystyle AC}$ e ${\displaystyle DE}$, respectivamente, temos:

${\displaystyle A=2{\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2}}\operatorname {sen} \alpha +2{\frac {d_{1}\cdot d_{2}}{2}}\operatorname {sen} (180^{\circ }-\alpha ).}$

Aqui, ${\displaystyle \alpha }$ é o menor ângulo definido pelas diagonais. Temos utilizado que a área de um triângulo ${\displaystyle FGH}$ pode ser calculada por:^[1]

${\displaystyle A_{FGH}={\frac {|FG|\cdot |GH|}{2}}\operatorname {sen} F{\hat {G}}H}$.

Por fim, como ${\displaystyle \operatorname {sen} \alpha =\operatorname {sen} (180^{\circ }-\alpha )}$, segue o resultado desejado.

Ver também

Existem três paralelogramos especiais:

• retângulo;
• quadrado;
• losango.

Referências