Série harmónica (matemática)

Em matemática, a série harmônica (português brasileiro) ou série harmónica (português europeu) é a série infinita definida como:

∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }

O nome harmónica é devido à semelhança com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda a vibrar: 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... (ver série harmônica (música)).

Esta série diverge lentamente. A demonstração (feita originalmente na Idade Média por Nicole d'Oresme[1]) faz-se tendo em conta que a série

∑ k = 1 ∞ 1 k = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + ⋯ {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}\!=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+\cdots }

é termo a termo maior que ou igual à série

∑ k = 1 ∞ 2 − ⌈ log 2 ⁡ k ⌉ = 1 + [ 1 2 ] + [ 1 4 + 1 4 ] + [ 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ] + 1 16 ⋯ {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }2^{-\lceil \log _{2}k\rceil }\!=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+{\frac {1}{16}}\cdots }
=   1 +   1 2   +   1 2   +   1 2     +     ⋯ {\displaystyle =\quad \ 1+\ {\frac {1}{2}}\ +\ \quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\ \quad \ \cdots }

que claramente diverge.

Soma dos primos recíprocos

Ver artigo principal: série dos inversos dos primos

Um resultado refinado prova que a série dos inversos dos primos diverge para infinito:

∑ k = 1 ∞ 1 p n = 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 11 + . . . = ∞ {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{n}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+...=\infty }

Série harmônica alternada

A série harmónica alternada é definida conforme:

∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 k = ln ⁡ 2. {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2.}

Esta série é convergente como consequência do teste da série alternada, e seu valor pode ser calculado pela série de Taylor do logaritmo natural.

Se se definir o n-ésimo número harmónico tal que

H n = ∑ k = 1 n 1 k {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}

então Hn cresce tão rapidamente quanto o logaritmo natural de n. Isto porque a soma é aproximada ao integrar

∫ 1 n 1 x d x {\displaystyle \int _{1}^{n}{1 \over x}\,dx}
cujo valor é ln(n).

Mais precisamente, se considerarmos o limite:

lim n → ∞ H n − ln ⁡ ( n ) = γ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{n}-\ln(n)=\gamma }
onde γ é a constante de Euler-Mascheroni, pode ser provado que:

  1. O único Hn inteiro é H1.
  2. A diferença Hm - Hn onde m>n nunca é um inteiro.

Jeffrey Lagarias provou em 2001 que a hipótese de Riemann é equivalente a dizer:

σ ( n ) ≤ H n + ln ⁡ ( H n ) e H n  para qualquer  n ∈ N {\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{H_{n}}\qquad {\mbox{ para qualquer }}n\in \mathbb {N} }

em que σ(n) é a soma dos divisores positivos de n. (Ver Lagarias, Jeffrey C. (2002). «An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis». The American Mathematical Monthly. 109: 534-543. doi:10.2307/2695443 .)

A série harmónica generalizada, ou série-p, é (qualquer uma) das séries

∑ n = 1 ∞ 1 n p {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}

para p um número real positivo. A série é convergente se p > 1 e divergente caso contrário. Quando p = 1, a série é harmónica. Se p > 1 então a soma das série é ζ(p), i.e., a função zeta de Riemann em ordem a p.

Este raciocínio pode-se estender ao teste de convergência das séries.

Série divergente

Ver artigo principal: série divergente

Existem definições da soma de séries divergentes que geram resultados importantes. Por exemplo, é possível justificar (sob um conceito generalizado de soma de uma série) que 1 - 1 + 1 - 1 + ... = 1/2 ou 1 - 2 + 3 - 4 + ... = 1/4, e até mesmo somas paradoxais como 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12 ou 1 + 4 + 9 + 16 + ... = 0. No entanto, mesmo usando-se estes conceitos, a soma da série harmónica continua sendo infinita - o que é coerente com o valor da função zeta de Riemann no ponto z = 1.

Ver também

O Commons possui uma categoria com imagens e outros ficheiros sobre Série harmónica (matemática)

Referências

  1. ↑ «Série Harmônica, formato pdf» (PDF) [ligação inativa]
  • v
  • d
  • e
Séries e Sequência
Sequência aritmética
Séries divergentes
Fibonacci espiral com square sizes up to 34.
Sequência geométrica
Série convergente
  • 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
  • 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
  • 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
Séries geométricas divergentes
Sequência hipergeométrica
  • Função geral hipergeométrica
  • Função hipergeométrica de um argumento matriz
  • Função de Lauricella
  • Função modular hipergeométrica
  • Equação diferencial de Riemann
  • Função Theta hipergeométrica
Sequência de inteiros
Outras sequências
Séries divergentes
  • Sequência periódica
  • Portal da matemática