Integrală de volum

În analiza matematică, în special în cea cu variabile multiple⁠(d), o integrală de volum (∭)[1] este o integrală peste un domeniu tridimensional, adică este un caz particular de integrale multiple. Integralele de volum sunt deosebit de importante în fizică pentru multe aplicații, de exemplu, pentru a calcula densitățile fluxurilor sau pentru a calcula masa dintr-o funcție de densitate corespunzătoare.

În coordonate

Poate însemna și o integrală triplă într-o regiune D ⊂ R 3 {\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}} a unei funcții f ( x , y , z ) , {\displaystyle f(x,y,z),} și se scrie de obicei ca:

∭ D f ( x , y , z ) d x d y d z . {\displaystyle \iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}

O integrală de volum în coordonate polare este

∭ D f ( ρ , φ , z ) ρ d ρ d φ d z , {\displaystyle \iiint _{D}f(\rho ,\varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,}

iar o integrală de volum în coordonate sferice (folosind convenția ISO pentru unghiuri cu unghiul azimutal φ {\displaystyle \varphi } și unghiul zenital θ {\displaystyle \theta } (măsurat față de axa polară) are forma

∭ D f ( r , θ , φ ) r 2 sin ⁡ θ d r d θ d φ . {\displaystyle \iiint _{D}f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .}

Exemple

Integrarea ecuației f ( x , y , z ) = 1 {\displaystyle f(x,y,z)=1} peste un cub unitate dă următorul rezultat:

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 d x d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 1 − 0 ) d y d z = ∫ 0 1 ( 1 − 0 ) d z = 1 − 0 = 1 {\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}1\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(1-0)\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\left(1-0\right)dz=1-0=1}

Deci volumul cubului unitate este 1 așa cum era de așteptat. Acest lucru este însă destul de banal, iar o integrală de volum este mult mai puternică. De exemplu, dacă avem o funcție scalară de densitate pe cubul unitate, atunci integrala de volum va da masa totală a cubului. De exemplu, pentru funcția densității:

{ f : R 3 → R f : ( x , y , z ) ↦ x + y + z {\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} \\f:(x,y,z)\mapsto x+y+z\end{cases}}}

masa totală a cubului este:

∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( x + y + z ) d x d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ( 1 2 + y + z ) d y d z = ∫ 0 1 ( 1 + z ) d z = 3 2 . {\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}(x+y+z)\,dx\,dy\,dz=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{2}}+y+z\right)dy\,dz=\int _{0}^{1}(1+z)\,dz={\frac {3}{2}}.}

Alt exemplu: coordonatele centrului de masă ale unui corp V ⊂ R 3 {\displaystyle V\subset \mathbb {R} ^{3}} cu densitatea ρ ( x , y , z ) {\displaystyle \rho (x,y,z)} se pot calcula cu relațiile:[2]

x G = 1 M ∭ V x ⋅ ρ ( x , y , z )   d x d y d z , {\displaystyle x_{G}={\frac {1}{M}}\iiint _{V}x\cdot \rho (x,y,z)\ dx\,dy\,dz,}
y G = 1 M ∭ V y ⋅ ρ ( x , y , z )   d x d y d z , {\displaystyle y_{G}={\frac {1}{M}}\iiint _{V}y\cdot \rho (x,y,z)\ dx\,dy\,dz,}
z G = 1 M ∭ V z ⋅ ρ ( x , y , z )   d x d y d z , {\displaystyle z_{G}={\frac {1}{M}}\iiint _{V}z\cdot \rho (x,y,z)\ dx\,dy\,dz,}

unde M este masa corpului.

Note

  1. ^ Ciupa, Holhoș, 2011, p. 111
  2. ^ Ciupa, Holhoș, 2011, p. 113

Bibliografie

Vezi și

Legături externe

  • en Hazewinkel, Michiel, ed. (), „Multiple integral”, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
Portal icon Portal Matematică