Integrare prin părți

Integrarea prin părți este o metodă utilizată în analiza matematică pentru determinarea primitivei produsului a două funcții, când se cunoaște primitiva uneia.

Teoremă

Dacă funcțiile f , g : [ a , b ] → R {\displaystyle f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} \!} sunt derivabile și au derivate continue pe [ a , b ] {\displaystyle [a,b]\!} atunci are loc egalitatea:

∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x = f ( x ) g ( x ) − ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x . {\displaystyle \int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx.\!}

unde simbolul ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)g'(x)dx\!} reprezintă mulțimea primitivelor funcției f g ′ , {\displaystyle fg',\!} iar ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \int f'(x)g(x)dx\!} reprezintă mulțimea primitivelor funcției f ′ g . {\displaystyle f'g.\!}


Demonstrație.

Funcția h = f g {\displaystyle h=fg\!} are derivată continuă pe [ a , b ] {\displaystyle [a,b]\!} și

h ′ ( x ) = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) {\displaystyle h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\!}

Fie acum φ ∈ ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x {\displaystyle \varphi \in \int f(x)g'(x)dx\!} și diferența ψ = φ − f g . {\displaystyle \psi =\varphi -fg.\!} Prin derivare se obține egalitatea:

ψ ′ = φ ′ − f ′ g − f g ′ = − f ′ g {\displaystyle \psi '=\varphi '-f'g-fg'=-f'g\!}

care arată că ψ ∈ − ∫ f ′ g . {\displaystyle \psi \in -\int f'g.\!}

Astfel am obținut că funcția φ = f g + ψ {\displaystyle \varphi =fg+\psi \!} și ψ ∈ − ∫ f ′ g . {\displaystyle \psi \in -\int f'g.\!} Altfel spus, φ ∈ f g − ∫ f ′ g . {\displaystyle \varphi \in fg-\int f'g.\!} Analog se arată că oricare ar fi ψ ∈ − ∫ f ′ ( x ) g ( x ) d x , {\displaystyle \psi \in -\int f'(x)g(x)dx,\!} funcția φ = f g + ψ ∈ ∫ f ( x ) g ′ ( x ) d x . {\displaystyle \varphi =fg+\psi \in \int f(x)g'(x)dx.\!}


Consecință.

Dacă funcțiile f , g : [ a , b ] → R {\displaystyle f,g:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} \!} au derivate continue pe [ a , b ] , {\displaystyle [a,b],\!} atunci are loc egalitatea:

∫ a b f ( x ) g ′ ( x ) d x = f ( b ) g ( b ) − f ( a ) g ( a ) − ∫ a b f ′ ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)dx=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)dx\!}

Exemple

Exemplul 1

Să se calculeze ∫ x cos ⁡ x d x . {\displaystyle \int x\cos xdx.}

Mai întâi alegem funcțiile f și g:

  • f ( x ) = x {\displaystyle f(x)=x}
  • g ( x ) = cos ⁡ x . {\displaystyle g(x)=\cos x.}

Calculăm derivata lui f: f ′ ( x ) = x ′ = 1. {\displaystyle f'(x)=x'=1.}

Integrăm pe g: ∫ g ( x ) d x = ∫ cos ⁡ x d x = sin ⁡ x . {\displaystyle \int g(x)dx=\int \cos xdx=\sin x.}

Deci ∫ x cos ⁡ x d x = x sin ⁡ x − ∫ 1 sin ⁡ x d x = x sin ⁡ x + cos ⁡ x + C . {\displaystyle \int x\cos xdx=x\sin x-\int 1\sin xdx=x\sin x+\cos x+{\mathcal {C}}.}

Exemplul 2

Multe formule de recurență se stablesc prin integrare prin părți repetată. De exemplu, fie:

I n = ∫ cos n ⁡ x d x . {\displaystyle I_{n}=\int \cos ^{n}xdx.\!}

Integrând prin părți rezultă:

I n = cos n − 1 ⁡ x ⋅ sin ⁡ x + ( n − 1 ) I n − 2 − ( n − 1 ) I n {\displaystyle I_{n}=\cos ^{n-1}x\cdot \sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n}\!}

De aici avem:

n I n = cos n − 1 ⁡ x ⋅ sin ⁡ x + ( n − 1 ) I n − 2 {\displaystyle nI_{n}=\cos ^{n-1}x\cdot \sin x+(n-1)I_{n-2}\!}

Această formulă împreună cu egalitățile I 0 = x {\displaystyle I_{0}=x\!} și I 1 = sin ⁡ x {\displaystyle I_{1}=\sin x\!} conduc la evaluarea primitivei I n , {\displaystyle I_{n},\!} pentru n ∈ N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .\!}

Vezi și

Legături externe

Portal icon Portal matematică
  • en eMathHelp
  • en MathIsFun.com