Plan osculator

În geometria diferențială, planul osculator al unei curbe strâmbe este limita planului care trece prin trei puncte vecine ${\displaystyle (M,M',M'')}$ pe curbă, când punctele ${\displaystyle M',M''}$ tind către M.

Fie o curbă spațială dată prin ecuația ei vectorială: ${\displaystyle \Gamma :\;{\vec {r}}={\vec {r}}(t),\;\;M_{0}(t_{0})\!}$ un punct regulat de pe curbă și ${\displaystyle T_{M_{0}}(\Gamma )\!}$ dreapta tangentă la curbă în punctul ${\displaystyle M_{0}.\!}$

Definiție. Un plan care conține dreapta tangentă c se numește plan tangent și se notează ${\displaystyle \pi _{M_{0}}(\Gamma ).\!}$

Fie un punct ${\displaystyle M'(t_{0}+k)\!}$ de pe ${\displaystyle \Gamma ,\!}$ vecin cu ${\displaystyle M_{0},\!}$ k fiind o creștere mică astfel ca ${\displaystyle t_{0}+k\in I.\!}$ Fie ${\displaystyle D(M_{0},M'_{0})\!}$ dreapta determinată de aceste puncte, secantă pentru curba ${\displaystyle \Gamma .\!}$

Observație. Dreapta obținută ca limită a pozițiilor secantelor ${\displaystyle D(M_{0},M'_{0})\!}$ când ${\displaystyle M_{0}\to M'_{0}\!}$ (adică ${\displaystyle k\to 0\!}$) este tangenta la ${\displaystyle \Gamma \!}$ în punctul ${\displaystyle M_{0}.\!}$

Definiție. Planul determinat de dreapta ${\displaystyle T_{M_{0}}(\Gamma )\!}$ și de un punct ${\displaystyle M'_{0}\!}$ de pe curba ${\displaystyle \Gamma \!}$ din vecinătatea lui ${\displaystyle M_{0},\!}$ se numește plan osculator al curbei ${\displaystyle \Gamma \!}$ în punctul ${\displaystyle M_{0},\!}$ și se notează ${\displaystyle P_{M_{0}}^{o}(\Gamma ).\!}$

Planul osculator este determinat de ${\displaystyle M_{0},\!}$ direcția tangentei ${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}(t_{0})\!}$ și de direcția ${\displaystyle {\overrightarrow {M_{0}M'_{0}}}={\vec {r}}(t_{0}+k)-{\vec {r}}(t_{0}).\!}$

Se observă că vectorul ${\displaystyle {\frac {1}{k}}[{\vec {r}}(t_{0}+k)-{\vec {r}}(t_{0})]\!}$ este coliniar cu vectorul ${\displaystyle {\overrightarrow {M_{0}M'_{0}}}.\!}$

Fie ${\displaystyle t_{k}\!}$ un punct intermediar din intervalul ${\displaystyle (t_{0},t_{0}+k).\!}$ Conform ipotezei că ${\displaystyle {\vec {r}}(t)\!}$ este o funcție de clasă ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}\!}$ pe intervalul real I, putem considera aproximarea de ordinul II a expresiei ${\displaystyle {\vec {r}}(t_{0}+k):\!}$

${\displaystyle {\vec {r}}(t_{0}+k)={\vec {r}}(t_{0})+k\cdot {\dot {\vec {r}}}(t_{0})+{\frac {k^{2}}{2!}}\cdot {\ddot {\vec {r}}}(t_{k})\;\;t_{k}\in (t_{0},t_{0}+k)\!}$

care se obține din formula Taylor cu restul Lagrange aplicată funcției vectoriale ${\displaystyle {\vec {r}}.\!}$

În plus, în baza continuității funcției ${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}},\!}$ avem ${\displaystyle \lim _{k\to 0}{\ddot {\vec {r}}}(t_{k})={\ddot {\vec {r}}}(t_{0}).\!}$ Obținem astfel:

${\displaystyle {\frac {{\vec {r}}(t_{0}+k)-{\vec {r}}(t_{0})}{k}}={\dot {\vec {r}}}(t_{0})+{\frac {k}{2!}}\cdot {\ddot {\vec {r}}}(t_{k}).\!}$

Cum membrul drept al egalității de mai sus este un vector coliniar cu ${\displaystyle {\overrightarrow {M_{0}M'_{0}}},\!}$ rezultă că vectorul ${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}(t_{k})\!}$ aparține planului osculator, pentru orice k. Trecând la limită pentru ${\displaystyle k\to 0,\!}$ obținem că vectorul ${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}(t_{0})\!}$ aparține planului osculator.

Așadar, cunoaștem doi vectori directori ai planului osculator: ${\displaystyle {\dot {\vec {r}}}(t_{0})\!}$ și ${\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}(t_{0}).\!}$ Ecuația vectorială a planului osculator este:

${\displaystyle P_{M_{0}}^{o}(\Gamma ):\;({\vec {R}}-{\vec {r}}(t_{0});{\dot {\vec {r}}}(t_{0});{\ddot {\vec {r}}}(t_{0}))=0\!}$

iar ecuația carteziană a planului osculator este:

${\displaystyle P_{M_{0}}^{O}(\Gamma ):\;{\begin{vmatrix}X-x(t_{0})&Y-y(t_{0})&Z-z(t_{0})\\{\dot {x}}(t_{0})&{\dot {y}}(t_{0})&{\dot {z}}(t_{0})\\{\ddot {x}}(t_{0})&{\ddot {y}}(t_{0})&{\ddot {z}}(t_{0})\end{vmatrix}}=0\!}$

Dacă curba ${\displaystyle \Gamma \!}$ este dată sub formă parametrică, atunci ecuația planului osculator poate fi scrisă sub forma:

${\displaystyle P_{M_{0}}^{O}(\Gamma ):{\begin{cases}X=x(t_{0})+\alpha {\dot {x}}(t_{0})+\beta {\ddot {x}}(t_{0})\\Y=y(t_{0})+\alpha {\dot {y}}(t_{0})+\beta {\ddot {y}}(t_{0})\\Z=z(t_{0})+\alpha {\dot {z}}(t_{0})+\beta {\ddot {z}}(t_{0})\end{cases}}\!}$     ${\displaystyle \alpha ,\beta \!}$ - parametrii

sau

${\displaystyle P_{M_{0}}^{O}(\Gamma ):\;A[x-x(t_{0})]+B[y-y(t_{0})]+C[z-z(t_{0})]=0\!}$

unde ${\displaystyle A,B,C\!}$ sunt complemenții algebrici ai matricei: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}(t_{0})&{\dot {y}}(t_{0})&{\dot {z}}(t_{0})\\{\ddot {x}}(t_{0})&{\ddot {y}}(t_{0})&{\ddot {z}}(t_{0})\end{bmatrix}}\!}$

Observații

• Planul osculator al unei curbe plane este chiar planul curbei.
• Direcția normală a planului osculator ${\displaystyle P_{M_{0}}^{O}(\Gamma )\!}$ este vectorul:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\dot {x}}(t_{0})&{\dot {y}}(t_{0})&{\dot {z}}(t_{0})\\{\ddot {x}}(t_{0})&{\ddot {y}}(t_{0})&{\ddot {z}}(t_{0})\end{bmatrix}}=A{\vec {i}}+B{\vec {j}}+C{\vec {k}}.\!}$

Dreapta normală pe planul osculator (adică dreapta de direcție ${\displaystyle {\dot {\vec {(}}}t_{0})\times {\ddot {\vec {(}}}t_{0})\!}$) în punctul ${\displaystyle M_{0}\!}$ se numește binormală, și se notează cu ${\displaystyle B_{M_{0}}(\Gamma ).\!}$