Bernulijeva jednačina

Bernulijeva jednačina ili Bernoullijeva jednadžba prikazuje odnos između brzine, tlaka i gustoće tekućine u kretanju. Ona kaže da je u slučaju stabilnog strujanja ne stišljive tekućine, bez trenja, ukupna energija tekućine jednaka duž svih prereza; porastom brzine tekućine pada njen statički tlak i obratno. Zbroj statičkog i dinamičkog tlaka u vodoravnom strujanju daje ukupan tlak koji je konstantan u svim prerezima. Drugim riječima Bernoullijeva jednadžba predstavlja zakon održanja energije koji nam u slučaju stacionarnog strujanja tekućine govori da Za vrijeme stacionarnog strujanja jedinica mase tekućine (njen diferencijalni dio) ima konstantnu energiju duž cijele strujne cijevi.

Odnosno Bernouiiljeva jednadžba govori o konstantnosti:

• potencijalne energije ... ${\displaystyle \ z+{p \over \rho g}}$
  i
• kinetičke energije ... ${\displaystyle \ {v^{2} \over 2g}}$.

Kroz cijevi različitog presjeka protječe tekućina (slika). Okomito na smjer strujanja postavljene su pijezometarske cjevčice (1) koje pokazuju veličinu statičkog tlaka mjerenog u pravcu okomito na smjer strujanja, kako bi se izbjegao utjecaj tlaka uslijed gibanja tekućine. Pitotove cijevčice sa savijenim uronjenim krajevima u smjeru strujanja (2) po zakonu o spojenim posudama imaju istu razinu kao i posuda (3). Pijezometarska i brzinska visina mogu se odrediti pomoću pijezometarske i Pitotove cijevi. Suma tih visina je konstantna i jednaka H bez obzira koju strujnu cijev promatramo.

Na užim mjestima statički tlak je manji, a na širim veći. U ravnomjernom strujanju tekućine kroz cijev brzina u užim dijelovima je veća iz čega proizlazi da je na mjestima manje brzine strujanja statički tlak veći, a na mjestima veće brzine statički tlak manji.

ρ – Gustoća - ${\displaystyle (kg/m^{3})}$

S - presjek predstavlja površinu poprečnog presjeka ili Ploština - ${\displaystyle (m^{2})}$.

p - statički tlak - (Pa)

v - brzina - (m/s)

m – masa tekućine - (kg)

R - mehanički rad - (W)

V - volumen mase tekućine - ${\displaystyle (m^{3})}$

• Bernoullieva jednadžba koristi SI sustav jedinica.

• • ${\displaystyle \ z}$ geodetska visina odnosno visina težišta poprečnog presjeka u odnosu na neku horizontalnu ravninu u ${\displaystyle \ (m)}$
  • ${\displaystyle \ p \over \rho g}$ pijezometarska ili tlačna visina odnosno visina pijezometarskog tlaka koju pokazuje visina stupca tekućine u pijezometarskoj cijevi u ${\displaystyle \ (m)}$
  • ${\displaystyle \ {v^{2} \over 2g}}$ je brzinska visina u ${\displaystyle \ (m)}$, a brzina ${\displaystyle \ v}$ predstavlja brzinu koju bi tijelo imalo kada bi bilo u slobodnom padu.
  • Ukupan zbroj energija daje Bernoullijevu jednadžbu

Ulaskom u uži dio cijevi, presjeka ${\displaystyle S_{2}}$ i statičkog tlaka ${\displaystyle p_{2}}$ tekućina dobije veću brzinu ${\displaystyle v_{2}}$. Masa tekućine m ima u širem dijelu cijevi kinetičku energiju:

${\displaystyle {\frac {m\cdot v_{1}^{2}}{2}}}$

a kad uđe u uži dio kinetičku energiju:

${\displaystyle {\frac {m\cdot v_{2}^{2}}{2}}}$

Povećanje kinetičke energije posljedica je mehaničkog rada R koji je nastao radi razlike tlakova (${\displaystyle p_{1}-p_{2}}$) ${\displaystyle s_{1}}$ pri gibanju mase m tekućine iz šireg dijela cijevi u uži na putu ΔS:

R = (${\displaystyle p_{1}-p_{2}}$) ${\displaystyle s_{1}}$ ΔS

R= (${\displaystyle p_{1}-p_{2}}$) V , gdje je V volumen mase tekućine.

Taj je rad jednak povećanju kinetičke energije:

(${\displaystyle p_{1}-p_{2}}$) V = ${\displaystyle {\frac {m\cdot v_{2}^{2}}{2}}}$ - ${\displaystyle {\frac {m\cdot v_{1}^{2}}{2}}}$

Dijeljenjem gornje jednakosti s volumenom, znajući da je gustoća ρ = ${\displaystyle {\frac {m}{V}}}$ dobivamo Bernoullijevu jednađbu:

${\displaystyle p_{1}}$ + ${\displaystyle {\frac {\rho \cdot v_{1}^{2}}{2}}}$ = ${\displaystyle p_{2}}$ + ${\displaystyle {\frac {\rho \cdot v_{2}^{2}}{2}}}$ = ${\displaystyle p_{3}}$ + ${\displaystyle {\frac {\rho \cdot v_{3}^{2}}{2}}}$ = konst.

Izrazi ${\displaystyle {\frac {\rho \cdot v_{1}^{2}}{2}}}$ , ${\displaystyle p_{2}}$ + ${\displaystyle {\frac {\rho \cdot v_{2}^{2}}{2}}}$ i ${\displaystyle p_{3}}$ + ${\displaystyle {\frac {\rho \cdot v_{3}^{2}}{2}}}$ prikazuju tlak koji je nastao uslijed strujanja tekućine i zove se dinamički tlak.

Osnovne pretpostavke pod kojim vrijedi ova jednadžba su:

1. tekućina je idealna - nestlačiva tekućina, linija energije je konstantna duž presjeka
2. Stacionarno strujanje

${\displaystyle \ z_{1}+{p_{1} \over \rho g}+{v_{1}^{2} \over 2g}=z_{2}+{p_{2} \over \rho g}+{v_{2}^{2} \over 2g}=H}$

• • ${\displaystyle \ H}$ predstavlja hidrodinamički tlak ili ukupnu specifičnu energiju u ${\displaystyle \ (m)}$.

Bernoullijeva jednadžba je prvi puta izvedena 1738. godine primjenom zakona održanja količine gibanja.

Osnovne pretpostavke pod kojima vrijedi ovaj izvod su:

1. fiktivna cijev ili proračun za konačni element neke cijevi,
2. Stacionarno strujanje ili postupno promjenjivo strujanje.

Eulorove diferencijalne jednadžbe kretanja tekućine - implicitni oblik

${\displaystyle \ {\frac {1}{\rho }}{\frac {\delta p}{\delta x}}=X-{\frac {du}{dt}}}$ ... ... ...(1E)
${\displaystyle \ {\frac {1}{\rho }}{\frac {\delta p}{\delta y}}=Y-{\frac {dv}{dt}}}$ ... ... ...(2E)
${\displaystyle \ {\frac {1}{\rho }}{\frac {\delta p}{\delta z}}=Z-{\frac {dW}{dt}}}$ ... ... ...(3E)

${\displaystyle \ \rho =konst}$ - nema općeg rješenja jer imamo 4 nepoznanice. Rješenje je moguće samo ako definiramo pretpostavku koja će eliminirati nepoznanicu viška.

Osnovna pretpostavka:

• imamo stacionarno strujanje

matematičke transformacije - (1E) množimo s dx, (2E) množimo s dy, (3E) množimo s dz i sumiramo dobivene jednadžbe.

${\displaystyle \ {\frac {1}{\rho }}({\frac {\delta p}{\delta x}}dx+{\frac {\delta p}{\delta y}}dy+{\frac {\delta p}{\delta z}}dz)=Xdx+Ydy+Zdz-(du\overbrace {\frac {dx}{dt}} ^{u}+dv\overbrace {\frac {dy}{dt}} ^{v}+dw\overbrace {{\frac {dz}{dt}})} ^{w}}$

pa dobijemo jednadžbu:

${\displaystyle \ 0=Xdx+Ydy+Zdz-{\frac {1}{\rho }}\delta p-(udu+vdv+wdw)}$

možemo derivirati

${\displaystyle \ udu={\frac {1}{2}}du^{2}}$
${\displaystyle \ vdv={\frac {1}{2}}dv^{2}}$
${\displaystyle \ wdw={\frac {1}{2}}dw^{2}}$

dakle, sada imamo ovaj oblik jednadžbe

${\displaystyle \ 0=Xdx+Ydy+Zdz-{\frac {\delta p}{\rho }}-{\frac {1}{2}}d(u^{2}+v^{2}+w^{2})}$
${\displaystyle \ 0=Xdx+Ydy+Zdz-{\frac {\delta p}{\rho }}-{\frac {1}{2}}d(W^{2})}$

• ako imamo strujnu cijev u kojoj dijeluje samo gravitacija u normalnom koordinatnom sustavu. Možemo pojednostaviti ovako;

${\displaystyle \ X=0,Y=0,Z=-g}$
${\displaystyle \ -gdz-{\frac {\delta p}{\rho }}-{\frac {1}{2}}d(W^{2})=0...operacije/\int /:-g}$
I konačno Eulerov integral koji predstavlja izvod bernoullieve jednadžbe:
${\displaystyle \ z+{\frac {p}{\rho g}}+{\frac {W^{2}}{2g}}=konstanta}$

${\displaystyle \ z_{1}+{p_{1} \over \rho g}+{\alpha _{1}v_{1}^{2} \over 2g}=z_{2}+{p_{2} \over \rho g}+{\alpha _{2}v_{2}^{2} \over 2g}+\Delta H}$

• • ${\displaystyle \ \Delta H}$ je dio specifične energije utrošen na svladavanje hidrodinamičkih otpora strujanju kapljevine. Izražava se u ${\displaystyle \ (m)}$.

Ili koeficijent kinetičke energije ${\displaystyle \ \alpha _{1,2}}$. On pokazuje odnos stvarne kinetičke energije mase fluida koji protječe poprečnim presjekom u jedinici vremena i kinetičke energije određene iz uvjeta da su brzine u svim točkama presjeka jednake (srednja brzina). Koeficijent kinetičke energije je bezdimenzionalna jedinica.

Koeficijent kinetičke energije najčešće ima slijedeće vrijednosti:

• • kod strujanja u cijevima ${\displaystyle \alpha =1,0}$
  • kod strujanja u otvorenim vodotocima ${\displaystyle \alpha =1,1}$
  • vrijednost ${\displaystyle \alpha }$ možemo računati ovom formulom:

${\displaystyle \ \alpha ={\frac {\int _{A}v^{3}dA}{v_{sr}^{3}A}}}$ - postavlja se uvjet da je ${\displaystyle \alpha \geq 1}$

znamo: ${\displaystyle \ d=konstantno,Q=konstantno->v=konstantno}$.

gubitak tlaka predstavlja razliku pijezometarskih visina u presjecima (1) i (2). Za slučaj da je cijev horizontalna vrijedi: ${\displaystyle z_{1}=z_{2}}$

${\displaystyle \ z_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho g}}=z_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho g}}+\Delta H}$
${\displaystyle \ \Delta H=(z_{1}+{\frac {p_{1}}{\rho g}})-(z_{2}+{\frac {p_{2}}{\rho g}})}$

znamo: ako je strujanje jednoliko ${\displaystyle \ v=konstantno.}$

${\displaystyle \ l_{0}=l_{p}=l_{e}=l}$

${\displaystyle \ p_{1}=p_{2}=p_{atm}}$

• atmosferski tlak djeluje na površini vodotoka
• u pijezometrima se voda podiže do razine vode u vodotoku

linija vodnog lica je pijezometarska linija

${\displaystyle \ p_{s}+\ p_{d}=p_{u}=konst.}$

gdje je ${\displaystyle \ p_{s}}$ statički tlak, ${\displaystyle \ p_{d}={\frac {\rho \cdot v^{2}}{2}}}$ dinamički tlak, a ${\displaystyle \ p_{u}}$ ukupni tlak, konstantan u cijelom horizontalnom cjevovodu bez obzira na presjek.

• Bernoullijev zakon ili Bernoullieva jednadžba služi za proračun brzine, tlaka ili gubitaka kod tečenja tekućine kroz otvorene i zatvorene vodotoke za idealnu i realnu tekućinu. Pošto se radi o tekućinama tj. fluidima Bernoullieva jednadžba služi kao temeljna postavka za objašnjavanje uzgona aeroprofila.