Uniformna raspodela (kontinuirana)

Uniformna raspodela

Funkcija gustine verovatnoće Koristeći konvenciju maksimuma
Funkcija kumulativne raspodele
Notacija	${\displaystyle {\mathcal {U}}(a,b)}$ ili ${\displaystyle \mathrm {unif} (a,b)}$
Parametri	${\displaystyle -\infty <a<b<\infty \,}$
Nositelj	${\displaystyle x\in [a,b]}$
PDF	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{za }}x\in [a,b]\\0&{\text{inače}}\end{cases}}}$
CDF	${\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{za }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{za }}x\in [a,b)\\1&{\text{za }}x\geq b\end{cases}}}$
Prosek	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$
Medijana	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)}$
Modus	svaka vrednost u ${\displaystyle (a,b)}$
Varijansa	${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}(b-a)^{2}}$
Koef. asimetrije	0
Kurtoza	${\displaystyle -{\tfrac {6}{5}}}$
Entropija	${\displaystyle \ln(b-a)\,}$
MGF	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{tb}-\mathrm {e} ^{ta}}{t(b-a)}}&{\text{za }}t\neq 0\\1&{\text{za }}t=0\end{cases}}}$
CF	${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\mathrm {e} ^{itb}-\mathrm {e} ^{ita}}{it(b-a)}}&{\text{za }}t\neq 0\\1&{\text{za }}t=0\end{cases}}}$

U teoriji verovatnoće i statistici, kontinuirana uniformna raspodela ili pravougaona raspodela je familija simetričnih raspodela verovatnoće takvih da su za svakog člana familije, svi intervali iste dužine unutar distribucione podrške podjednako verovatni. Podrška je definisana sa dva parametra, a i b, koji su njena minimalna i maksimalna vrednost. Distribucija je često skraćeno označava sa U(a,b). Ona je distribucija verovatnoće maksimalne entropije za randomnu promenljivu X bez ograničenja, osim da je sadržana u distribucionoj podršci.^[1]

Karakterizacija

Funkcija gustine verovatnoće

Funkcija gustine verovatnoće kontinuirne uniformne raspodele je:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&\mathrm {za} \ a\leq x\leq b,\\[8pt]0&\mathrm {za} \ x<a\ \mathrm {ili} \ x>b\end{cases}}}$

Vrednosti f(x) na dvema granica a i b su obično nevažne, jer ne menjaju vrednosti integrala f(x) dx na bilo kom intervalu, niti vrednost x f(x) dx ili bilo kojeg višeg momenta. Ponekad se one izjednačavaju sa nulom, a ponekad se bira da budu 1/(b − a). Ovo pitanje je prikladno u kontekstu procene metodom maksimalne verovatnoće. U kontekstu Furijeove analize, može se uzeti da vrednost f(a) ili f(b) bude 1/(2(b − a)), jer tada inverzna transformacija mnogih integralnih transformacija ove uniformne funkcije daje samu funkciju, a ne funkciju koja je jednaka „skoro svuda”, tj. osim na skupu tačaka sa nultom merom. Takođe, ovo je u skladu sa signum funkcijom koja nema takvu dvosmislenost.

U smislu srednje vrednosti μ i varijanse σ², gustina verovatnoće se može zapisati kao:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2\sigma {\sqrt {3}}}}&{\mbox{za }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu \leq \sigma {\sqrt {3}}\\0&{\text{inače}}\end{cases}}}$

Funkcija kumulativne distribucije

Funkcija kumulativne distribucije je:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{za }}x<a\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{za }}a\leq x\leq b\\[8pt]1&{\text{za }}x>b\end{cases}}}$

Njen inverzni oblik je:

${\displaystyle F^{-1}(p)=a+p(b-a)\,\,{\text{ za }}0<p<1}$

U notaciji srednje vrednosti i varijanse, funkcija kumulativne distribucije je:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{za }}x-\mu <-\sigma {\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {3}}}}+1\right)&{\text{za }}-\sigma {\sqrt {3}}\leq x-\mu <\sigma {\sqrt {3}}\\1&{\text{za }}x-\mu \geq \sigma {\sqrt {3}}\end{cases}}}$

i inverzni oblik je:

${\displaystyle F^{-1}(p)=\sigma {\sqrt {3}}(2p-1)+\mu \,\,{\text{ za }}0\leq p\leq 1}$

Generisanje funkcija

Funkcija generisanja momenta

Funkcija generisanja momenta je:^[2]

${\displaystyle M_{x}=E(e^{tx})={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}\,\!}$

iz čega se mogu izračnunati momenti m_k

${\displaystyle m_{1}={\frac {a+b}{2}},\,\!}$

${\displaystyle m_{2}={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}},\,\!}$

${\displaystyle m_{k}={\frac {1}{k+1}}\sum _{i=0}^{k}a^{i}b^{k-i}.\,\!}$

U specijalnom slučaju a = –b, drugim rečima, za

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2b}}&{\text{za}}\ -b\leq x\leq b,\\[8pt]0&{\text{inače}},\end{cases}}}$

funkcija generisanja momenta se redukuje na jednostavnu formu

${\displaystyle M_{x}={\frac {\sinh bt}{bt}}.}$

Za randomnu promenljivu koja sledi ovu distribuciju, očekivana vrednost je m₁ = (a + b)/2 i varijansa je m₂ − m₁² = (b − a)²/12.

Funkcija generisanja kumulanta

Za n ≥ 2, n-ti kumulant uniformne distribucije na intervalu [-1/2, 1/2] je B_n/n, gde je B_n n-ti Bernulijev broj.^[3]

Svojstva

Momenti

Srednaj vrednost (prvi momenat) distribucije je:

${\displaystyle E(X)={\frac {1}{2}}(a+b).}$

Drugi momenat distribucije je:

${\displaystyle E(X^{2})={\frac {1}{3}}(a^{2}+ab+b^{2}).}$

Generalno, n-ti momenat uniformne distribucije je:

${\displaystyle E(X^{n})={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}a^{k}b^{n-k}.}$

Varijansa (drugi centralni momenat) je:

${\displaystyle V(X)={\frac {1}{12}}(b-a)^{2}}$

Druge statistike

Neka je X₁, ..., X_n uzorak nezavisne i identično raspoređene randomne promenljive iz U(0,1). Neka je X_(k) k-ti red statistika iz ovog uzorka. Onda raspodela verovatnoće X_(k) predstavlja beta raspodelu sa parametrima k i n − k + 1. Očekivana vrednosti je

${\displaystyle \operatorname {E} (X_{(k)})={k \over n+1}.}$

Ova činjenica je korisna kad se prave Q–Q grafici.

Varijance su

${\displaystyle \operatorname {V} (X_{(k)})={k(n-k+1) \over (n+1)^{2}(n+2)}.}$

Uniformnost

Verovatnoća da uniformno raspoređena slučajna promenljiva padne unutar bilo kojeg intervala fiksne dužine ne zavisi od lokacije samog intervala (mada je zavisna od veličine intervala), dokle god je interval sadržan unutar distribucione podrške.

Da be to videlo, ako je X ~ U(a,b) i [x, x+d] podinterval od [a,b] sa fiksnim d > 0, tada je

${\displaystyle P\left(X\in \left[x,x+d\right]\right)=\int _{x}^{x+d}{\frac {\mathrm {d} y}{b-a}}\,={\frac {d}{b-a}}\,\!}$ which is independent of x. This fact motivates the distribution's name.

Generalizacija do Borelovih setova

Ova distribucija može se generalizovati na složenije skupove od intervala. Ako je S Borelov skup pozitivne,^[4][5] konačne mere, uniformna distribucija verovatnoće na S može se specificirati definisanjem funkcije raspodele verovatnoće koja je jednaka nuli izvan S i konstantno jednaka 1/K na S, gde je K mera Lebega od S.

Vidi još

• Diskretna uniformna distribucija
• Beta distribucija
• Boks-Mjulerova transformacija
• Grafikon verovatnoće
• Q-Q grafikon
• Pravougaona funkcija
• Ervin-Holova distribucija — U denerativnom slučajeu gde je n=1, Ervin-Holova distribucija generiše uniformnu distribuciju između 0 i 1.
• Bejtsova distribucija

Reference

Literatura

Spoljašnje veze