Jacobi-identiteten

Jacobi-identiteten, eller Jacobis identitet, innebär inom matematiken att en bilinjär avbildning ${\displaystyle F\colon V\times V\rightarrow V}$ på vektorrummet ${\displaystyle V}$ uppfyller:

${\displaystyle F(F(x,y),z)+F(F(y,z),x)+F(F(z,x),y)=0,\quad \forall x,y,z\in V}$.

Är den bilinjära avbildningen dessutom antisymmetrisk rör det sig om en lieparentes. Viktiga exempel är:

• Kommutatorer för linjära avbildningar: ${\displaystyle [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0.}$^[1]
• Vektorprodukt: ${\displaystyle {\textbf {a}}\times ({\textbf {b}}\times {\textbf {c}})+{\textbf {b}}\times ({\textbf {c}}\times {\textbf {a}})+{\textbf {c}}\times ({\textbf {a}}\times {\textbf {b}})=0}$
• Poissonklamrar: ${\displaystyle \,\{f,\{g,h\}\}+\{h,\{f,g\}\}+\{g,\{h,f\}\}=0}$^[2]

Jacobi-identiteten är uppkallad efter den tyske matematikern Carl Jacobi.

Bevis för vektorprodukt

Beviset fås enkelt ur Lagranges formel:

${\displaystyle {\textbf {a}}\times ({\textbf {b}}\times {\textbf {c}})={\textbf {b}}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}})-{\textbf {c}}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}})}$

Således:

${\displaystyle {\textbf {a}}\times ({\textbf {b}}\times {\textbf {c}})+{\textbf {b}}\times ({\textbf {c}}\times {\textbf {a}})+{\textbf {c}}\times ({\textbf {a}}\times {\textbf {b}})=}$

${\displaystyle ={\textbf {b}}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}})-{\textbf {c}}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}})+{\textbf {c}}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {b}})-{\textbf {a}}({\textbf {b}}\cdot {\textbf {c}})+{\textbf {a}}({\textbf {b}}\cdot {\textbf {c}})-{\textbf {b}}({\textbf {a}}\cdot {\textbf {c}})=}$

${\displaystyle =0}$

Referenser