Z-funktionen

Inom matematiken är Z-funktionen en speciell funktion som används då man studerar Riemanns zetafunktion vid den kritiska linjen där den reella delen av argumentet är en halv. Den är även känd som Riemann-Siegels Z-funktion, Riemann-Siegels zetafunktion, Hardys funktion, Hardys Z-funktion och Hardys zetafunktion. Den kan definieras med hjälp av Riemann–Siegels thetafunktion och Riemanns zetafunktion som

${\displaystyle Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right).}$

Z-funktionen i komplexa planet

${\displaystyle -5<\Re (t)<5}$	${\displaystyle -40<\Re (t)<40}$

Riemann-Siegels formel

Beräkning av Z(t) för reella t, och härmed av zetafunktionen vid den kritiska linjen, förenklas mycket av Riemann–Siegels formel. Formeln lyder

${\displaystyle Z(t)=2\sum _{n^{2}<t/2\pi }n^{-1/2}\cos(\theta (t)-t\log n)+R(t)}$

där feltermen R(t) har en komplex asymptotiska expansion med hjälp av funktionen

${\displaystyle \Psi (z)={\frac {\cos 2\pi (z^{2}-z-1/16)}{\cos 2\pi z}}}$

och dess derivator. Om ${\displaystyle u=({\frac {t}{2\pi }})^{1/4}}$,${\displaystyle N=\lfloor u^{2}\rfloor }$ och ${\displaystyle p=u^{2}-N}$ är

${\displaystyle R(t)\sim (-1)^{N-1}\left(\Psi (p)u^{-1}-{\frac {1}{96\pi ^{2}}}\Psi ^{(3)}(p)u^{-3}+\cdots \right)}$

där punkterna betyder att vi kan fortsätta att ta högre och mer komplexa termer.

Andra effektiva serier för Z(t) är kända, speciellt sådana som innehåller ofullständiga gammafunktionen. Om

${\displaystyle Q(a,z)={\frac {\Gamma (a,z)}{\Gamma (a)}}={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{z}^{\infty }u^{a-1}e^{-u}du}$

är

${\displaystyle Z(t)=2\Re \left(e^{i\theta (t)}\left(\sum _{n=1}^{\infty }Q\left({\frac {s}{2}},\pi in^{2}\right)-{\frac {\pi ^{s/2}e^{\pi is/4}}{s\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}\right)\right).}$

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Z function, 19 maj 2014.

• Edwards, H.M. (1974). Riemann's zeta function. Pure and Applied Mathematics. "58". New York-London: Academic Press. ISBN 0-12-232750-0 
• Ivić, Aleksandar (2013). The theory of Hardy's Z-function. Cambridge Tracts in Mathematics. "196". Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-02883-8 
• Paris, R. B.; Kaminski, D. (2001). Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. "85". Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-79001-8 
• Ramachandra, K.. Lectures on the mean-value and Omega-theorems for the Riemann Zeta-function. Lectures on Mathematics and Physics. Mathematics. Tata Institute of Fundamental Research. "85". Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-58437-4 
• Titchmarsh, E. C. (1986) [1951]. Heath-Brown, D.R.. red. The Theory of the Riemann Zeta-Function (second revised). Oxford University Press