Lineer cebirde, özdeğer ayrışımı[1] ya da eigen ayrışımı,[2] bir matrisin özdeğerleri ve özvektörleri cinsinden ifade edilen daha basit matrislere ayrıştırılmasıdır. Sadece kare matrisler özdeğerlerine ayrıştırılabilir.
Tanım
n adet doğrusal olarak bağımsız qi (i = 1, ..., n) özvektörleri olan n × n boyutlu A kare matrisi şu şekilde ayrıştırılabilir:
![{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e0edeaafb9644ef4c52881019a256add81d1356)
Burada Q, i numaralı sütunu A'nın qi özvektörü olan n × n boyutlu kare matristir. Λ ise köşegen değerleri bu vektörlere denk gelen özdeğerler (Λii = λi) olan bir köşegen matristir. Sadece köşegenlenebilir matrisler bu şekilde ayrıştırılabilir. Örneğin,
ayrıştırılamaz.
Özvektörler qi genellikle normaldir, ama bazen Q'nun sütunları olarak normalleştirilmemiş n adet vi özvektörü de kullanılır. Çünkü ayrışımdaki Q−1 ile çarpımın sonucu olarak vektör büyüklükleri kaybolur.
Ayrışım, özvektörlerin temel özelliğinden türetilebilir:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \mathbf {v} &=\lambda \mathbf {v} \\\mathbf {A} \mathbf {Q} &=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \\\mathbf {A} &=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5959a7b9ece5ccc993166b2f61f1d1b712f8be5)
Örnek
2 × 2 boyutlu A matrisi
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&0\\1&3\\\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb8a3a1a61236fcff1a3626f7314badd043cbfb)
tekil olmayan B matrisi kullanılarak özdeğerlerine ayrıştırılabilir.
![{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6fc8d0433a8750525dd720f77b47c8dfd6c6294)
Herhangi bir köşegen matrisi
için,
özdeşliği:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8379917a3e462547a942ca779777b4f1c5e3ce00)
İki taraf da B ile çarpılırsa:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c25f03d07d4ad15a1675e19146e361a7e0826b11)
Yukarıdaki denklem iki eşanlı denkleme ayrılır:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ax\\cx\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}by\\dy\end{bmatrix}}\end{cases}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c2a910bb46119fa8b9cad84b0516ed7e269083c)
Özdeğerler x ve y ayrıştırılır:
![{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=y{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a470eb5aae455023e456d7bd7f057dea2da7da5b)
Vektörleri isimlendirirsek:
![{\displaystyle {\overrightarrow {a}}={\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}},\quad {\overrightarrow {b}}={\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d601d54c641fa0598628f795b8974fff3b800e)
iki vektör denklemi elde ederiz:
![{\displaystyle {\begin{cases}A{\overrightarrow {a}}=x{\overrightarrow {a}}\\A{\overrightarrow {b}}=y{\overrightarrow {b}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0ed21324d651360ea5a580c2cae08fde438f707)
İki çözümlü bir vektör denklemi olarak da gösterilebilir:
![{\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4e5cd752aa08d13eb76c4a78bc55851010f810)
burada λ iki özdeğeri (x, y), u ise iki vektörü (a→, b→) içerir.
λu'u sola kaydırıp u'yu ayırırsak:
![{\displaystyle (\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )\mathbf {u} =\mathbf {0} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c233e68a2b8f1ea66bcace3a6852097415a85efe)
B tekil olmadığı için u sıfırdan büyüktür. Yani,
![{\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db26751cdb58e8be592236406c6f5f750e4a54c6)
Böylece,
![{\displaystyle (1-\lambda )(3-\lambda )=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb77447a5952462ac056bb8693d6e3c5ec40359)
A matrisinin özdeğerlerini verir (λ = 1, λ = 3). Sonuç olarak özdeğer ayrışımından elde edilen köşegen matrisi
olur.
Çözümleri yukarıdaki denkleme yerleştirirsek
![{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix}}\\{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}=3{\begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eeb8b5a43502c215a07897da826ed1e9239ca22)
ve bu denklemi çözersek:
![{\displaystyle a=-2c\quad {\text{and}}\quad b=0,\qquad c,d\in \mathbb {R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789401d1f6cf724495dd1e853d18f152c86acd59)
B'yi buluruz
![{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}},\qquad c,d\in \mathbb {R} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cab3fac0ee1d03d3df21eb824537b5d0b5af285)
ve özdeğer ayrışımını tamamlarız:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}1&0\\1&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2c&0\\c&d\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}},\qquad c,d\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ab992e1ae08ec88e6b54b76ee0b28d897ccdf0b)
Kaynakça
- ^ Zhaoyang, Li (2006). Matris Ayrışımı (PDF) (Yüksek lisans). İstanbul: İstanbul Üniversitesi. Erişim tarihi: 26 Şubat 2021.
- ^ Uçkan, Taner; Cengiz Hark; Ebubekir Seyyarer; Ali Karcı (24 Aralık 2019). "Ağırlıklandırılmış Çizgelerde Tf-Idf ve Eigen Ayrışımı Kullanarak Metin Sınıflandırma". Bitlis Eren Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi. 8 (4). ss. 1349-1362. ISSN 2147-3129.