Diferansiyel geometri

Diferansiyel geometri türevin tanımlı olduğu Riemann manifoldlarının özellikleriyle uğraşan matematiğin bir alt disiplinidir.^[1] Başka bir deyişle, bu manifoldlar üzerindeki metrik kavramlarla uğraşır.^[2] Eğrilik, eğriler için burulma ve yüzeyler için değişik eğrilikler, araştırılan özellikler arasındadır.

Diferansiyel geometri, geometrik problemler üzerinde diferansiyel metotlar ve integral hesaplamalarla çalışan matematiksel bir disiplindir.^[3] Bundan başka lineer cebir ve çoklu doğrusal cebirdeki, sorunları incelemek için geometride de kullanılır.

Uygulamalar

Aşağıda diferansiyel geometrinin, bilim ve matematiğin diğer alanlarında nasıl kullanıldığı hakkında bazı örnekler vardır.

Fizikte, dört kullanımından söz edilecektir: :

Diferansiyel geometri Einstein'ın Genel görelilik teorisinin ifade edildiği dildir. Teoriye göre evren, uzay-zaman eğriliğini açıklayan pseudo-Riemann metriği ile donatılmış, düzgün bir manifolddur. Dünya etrafında yörüngeye uydu konumlandırmak için bu bükülmeyi anlamak esastır. Diferansiyel geometri, kütleçekimsel merceklenme ve kara deliklerin çalışmasını açıklamak içinde vazgeçilmezdir. Diferansiyel formlar: Diferansiyel formların anlaşılmasında kullanılmıştır; Diferansiyel geometrinin hem Lagrange mekaniği ve hem de Hamilton mekaniğinde uygulamaları vardır. Özellikle Simplektik manifoldlar, Hamilton sistemlerini incelemek için kullanılabilir.

Riemann geometrisi ve temas geometrisi: geometrotermodinamikler formalizmini oluşturmak için kullanılan klasik termodinamik denge uygulamaları için bulunmuştur.
Ekonomide, diferansiyel geometrinin ekonometri alanında uygulamaları vardır.^[4]
Diferansiyel geometriden gelen fikirler arasında geometrik modelleme (bilgisayar grafikleri dahil) ve Bilgisayar destekli geometrik tasarım da bulunur.
Mühendislikte, Dijital sinyal işleme sorunlarını çözmek için diferansiyel geometri uygulanabilir.^[5]
Olasılık, istatistik ve bilgi kuramı olarak, özellikle Fisher bilgi metriği üzerinden bilgi geometri alanını verir ki, Riemann manifoldları gibi çeşitli yapıları yorumlayabilir.
Yapısal jeoloji, diferansiyel geometri jeolojik yapılarını analiz etmek ve tanımlamak için kullanılır.

Bilgisayarla görme, diferansiyel geometrik şekilleri analiz etmek için kullanılır.^[6]

Görüntü işlemede, düz olmayan yüzeylerde veri işlemek ve analiz etmek için diferansiyel geometri kullanılır.^[7]
Grigori Perelmanin Poincaré varsayımına kanıtı topolojideki sorulara Ricci akımlarının tekniklerini kullanarak diferansiyel geometrik yaklaşımın gücünü gösterdi ve onun analitik yöntemlerde oynadığı önemli role dikkat çekti.
Kablosuz iletişimde, grassmanniyen manifoldlar çoklu anten sistemlerinde demetleme teknikleri için kullanılmaktadır.^[8]

Ayrıca bakınız

Kaynakça

^ "The MacTutor History of Mathematics Archive". 30 Eylül 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Haziran 2007.
^ "WolframMathWorld". 27 Mayıs 2007 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 6 Haziran 2007.
^ "Maddenin ingilizce belgesinden". 2 Kasım 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Ekim 2008.
^ Paul Marriott and Mark Salmon (editors), "Applications of Differential Geometry to Econometrics", Cambridge University Press; 1 edition (September 18, 2000).
^ Jonathan H. Manton, "On the role of differential geometry in signal processing" [1].
^ Mario Micheli, "The Differential Geometry of Landmark Shape Manifolds: Metrics, Geodesics, and Curvature", http://www.math.ucla.edu/~micheli/PUBLICATIONS/micheli_phd.pdf 4 Haziran 2011 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
^ Anand A. Joshi, "Geometric methods for image processing and signal analysis", [2] 4 Mart 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
^ David J. Love and Robert W. Heath, Jr. "Grassmannian Beamforming for Multiple-Input Multiple-Output Wireless Systems," IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 49, No. 10, October 2003

Konuyla ilgili yayınlar

Wolfgang Kühnel (2002). Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds (2nd ed. bas.). ISBN 0-8218-3988-8. KB1 bakım: Fazladan yazı (link)
Theodore Frankel (2004). The geometry of physics: an introduction (2nd ed. bas.). ISBN 0-521-53927-7. KB1 bakım: Fazladan yazı (link)
Spivak, Michael (1999). A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (5 Volumes) (3rd Edition bas.). KB1 bakım: Fazladan yazı (link)
do Carmo, Manfredo (1976). Differential Geometry of Curves and Surfaces. ISBN 0-13-212589-7. Classical geometric approach to differential geometry without tensor analysis.
Kreyszig, Erwin (1991). Differential Geometry. ISBN 0-486-66721-9. Good classical geometric approach to differential geometry with tensor machinery.
do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Riemannian Geometry.
McCleary, John (1994). Geometry from a Differentiable Viewpoint.
Bloch, Ethan D. (1996). A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry.
Gray, Alfred (1998). Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica (2nd ed. bas.). KB1 bakım: Fazladan yazı (link)
Burke, William L. (1985). Applied Differential Geometry.
ter Haar Romeny, Bart M. (2003). Front-End Vision and Multi-Scale Image Analysis. ISBN 1-4020-1507-0.

Dış bağlantılar

Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Differential geometry", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
B. Conrad. Differential Geometry handouts, Stanford University 9 Ekim 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Michael Murray's online differential geometry course, 1996 1 Ağustos 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
A Modern Course on Curves and Surface, Richard S Palais, 20039 Nisan 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Richard Palais's 3DXM Surfaces Gallery9 Nisan 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
Balázs Csikós's Notes on Differential Geometry5 Haziran 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
N. J. Hicks, Notes on Differential Geometry, Van Nostrand.26 Mart 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
MIT OpenCourseWare: Differential Geometry, Fall 2008 2 Mayıs 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.