T-розподіл Стьюдента

t-Стьюдента
Щільність розподілу
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	${\displaystyle \nu >0}$ ступені свободи (дійсне)
Носій функції	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)^{-({\frac {\nu +1}{2}})}\!}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\end{matrix}}}$ де 2F1 це гіпергеометрична функція
Середнє	${\displaystyle 0}$ для ${\displaystyle \nu >1}$, інакше невизначено
Медіана	${\displaystyle 0}$
Мода	${\displaystyle 0}$
Дисперсія	${\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}}$ для ${\displaystyle \nu >2\!}$, інакше невизначена
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle 0}$ для ${\displaystyle \nu >3}$
Коефіцієнт ексцесу	${\displaystyle {\frac {6}{\nu -4}}}$ для ${\displaystyle \nu >4\!}$
Ентропія	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+\nu }{2}})-\psi ({\frac {\nu }{2}})\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {\nu }}B({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}})\right]}\end{matrix}}}$ ${\displaystyle \psi }$: дигамма-функція, ${\displaystyle B}$: Бета-функція
Твірна функція моментів (mgf)	(не визначена)
Характеристична функція	${\displaystyle {\frac {K_{\nu /2}({\sqrt {\nu }}|t|)({\sqrt {\nu }}|t|)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)2^{\nu /2-1}}},\;\nu >0}$ ${\displaystyle K_{\nu }(x)}$: бесселівська функція, див.[1]

У теорії ймовірностей та статистиці t-розподіл чи t-розподіл Стьюдента — різновид розподілу ймовірностей, який виникає в задачі оцінення сподіваного значення нормально розподіленої популяції, коли розмір вибірки малий. Цей розподіл є основою популярного t-тесту Стьюдента статистичної значущості різниці математичних сподівань двох вибірок, та довірчого інтервалу різниці очікуваних значень двох вибірок. t-розподіл Стьюдента є також частковим випадком узагальненого гіперболічного розподілу^[en]. Розроблений В. С. Госсетом (псевдонім «Стьюдент»).

Як розподіл Стьюдента виникає з вибірки

Нехай X₁, …, X_n — це незалежні випадкові величини з розподілу N(μ, σ²), тобто це вибірка розміру n з популяції з нормальним розподілом з середнім значенням μ і дисперсією σ².

Нехай

${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$

буде середнім вибірки і нехай

${\displaystyle S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}$

буде (виправлена згідно з Бесселем) дисперсія вибірки. Тоді випадкова величина

${\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}$

має стандартний нормальний розподіл (тобто, з середнім 0 і дисперсією 1), а випадкова величина

${\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}$

(де ми підставили S замість σ) має t-розподіл Стьюдента з n − 1 ступенями вільності. Через те що ми замінили ${\displaystyle S}$ на ${\displaystyle \sigma ,}$ єдина неспостережувана величина тут це ${\displaystyle \mu ,}$ отже ми можемо використати це, щоб знайти довірчі інтервали для ${\displaystyle \mu .}$ Зауважте, що незважаючи на те, що вони базуються на тій самій вибірці ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$ чисельник і знаменник у попередньому виразі — незалежні випадкові величини. Це можна побачити спостерігши, що ${\textstyle \operatorname {cov} ({\overline {X}},\,X_{i}-{\overline {X}})=0,}$ і згадавши, що ${\textstyle {\overline {X}}}$ і ${\textstyle X_{i}-{\overline {X}}}$ це дві лінійні комбінації тої самої множини н.о.р. нормально розподілених випадкових величин.

Означення

Щільність розподілу

Т-розподіл Стьюдента має функцію щільності розподілу, що задається формулою

${\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}},\!}$

де ${\displaystyle \nu }$ — кількість ступенів вільності, ${\displaystyle \Gamma }$ — гамма-функція. Формула також може бути записана у вигляді

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{{\sqrt {\nu }}\,B\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)}}\left(1+{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}\!,}$

де B — бета-функція.

Для парних значень ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 5\cdot 3}{2{\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 4\cdot 2\,}}.}$

Для непарних значень ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}={\frac {(\nu -1)(\nu -3)\cdots 4\cdot 2}{\pi {\sqrt {\nu }}(\nu -2)(\nu -4)\cdots 5\cdot 3\,}}.\!}$

Функція розподілу ймовірності

Функція розподілу може бути записана в термінах I, регуляризованої неповна бета-функція. Для t > 0^[2]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(u)\,du=1-{\frac {1}{2}}I_{x(t)}\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\right),}$

з

${\displaystyle x(t)={\frac {\nu }{t^{2}+\nu }}.}$

Інші значення отримуються симетрично. Альтернативна формула дійсна для t² < ν, така^[2]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{t}f(u)\,du={\frac {1}{2}}+t{\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {t^{2}}{\nu }}\right)}$

де ₂F₁ — певний випадок гіпергеометричної функції.

Особливі випадки

Для певних значень параметра ${\displaystyle \nu }$ розподіл Стьюдента має просту форму.

• ${\displaystyle \nu =1}$

Функція розподілу:

${\displaystyle F(x)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan(x).}$

Функція щільності:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.}$

Див. Розподіл Коші

• ${\displaystyle \nu =2}$

Функція розподілу:

${\displaystyle F(x)={\tfrac {1}{2}}+{\frac {x}{2{\sqrt {2+x^{2}}}}}.}$

Функція щільності:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\left(2+x^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.}$

• ${\displaystyle \nu =3}$

Функція щільності:

${\displaystyle f(x)={\frac {6{\sqrt {3}}}{\pi \left(3+x^{2}\right)^{2}}}.}$

• ${\displaystyle \nu =\infty }$

Функція щільності:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}.}$

Див. нормальний розподіл

Порівняння з нормальним розподілом

Загалом щільність t-розподілу схожа на дзвоноподібну функцію щільності нормального розподілу, з тією відмінністю, що у t-розподілу вона трохи нижча і ширша. За кількості ступенів свободи, що прямує до нескінченості, t-розподіл прямує до нормального розподілу з математичним сподіванням 0 і дисперсією 1.

На графіках нижче показано щільності t-розподілу для зростаючих значень параметру ${\displaystyle \nu }$. Для порівняння, нормальний розподіл зображено синім. Можна помітити, що із збільшенням ${\displaystyle \nu }$ щільність t-розподілу наближається до нормального.

Щільність t-розподілу для 1, 3, 5, 30 ступенів вільності (зображено червоним) у порівнянні зі щільністю нормального розподілу (зображено синім). Зеленим показано щільності з меншою кількістю ступенів вільності."

• 
  1 ступінь вільності
• 
  3 ступені вільності
• 
  5 ступені вільності
• 
  30 ступенів вільності

Таблиця вибраних значень

Наступна таблиця містить кілька вибраних значень цього розподілу, з r ступенями свободи для інтервалів певності 90 %, 95 %, 97,5 % та 99,5 %. Ці числа «односторонні», тобто коли ми бачимо «90%», «4 ступенів свободи», та «1.533»,

це означає ${\displaystyle \displaystyle Pr(T<1,533)=0,9;}$

це не означає ${\displaystyle \displaystyle Pr(-1,533<T<1,533)=0,9}$

Тому, по симетрії розподілу, ми маємо

${\displaystyle \displaystyle Pr(T<-1,533)=Pr(T>1,533)=1-0,9=0,1}$

та в результаті

${\displaystyle \displaystyle Pr(-1,533<T<1,533)=1-2\cdot 0,1=0,8.}$

r	75 %	80 %	85 %	90 %	95 %	97.5 %	99 %	99.5 %	99.75 %	99.9 %	99.95 %
1	1.000	1.376	1.963	3.078	6.314	12.71	31.82	63.66	127.3	318.3	636.6
2	0.816	1.061	1.386	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925	14.09	22.33	31.60
3	0.765	0.978	1.250	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	7.453	10.21	12.92
4	0.741	0.941	1.190	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	5.598	7.173	8.610
5	0.727	0.920	1.156	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032	4.773	5.893	6.869
6	0.718	0.906	1.134	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707	4.317	5.208	5.959
7	0.711	0.896	1.119	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	4.029	4.785	5.408
8	0.706	0.889	1.108	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355	3.833	4.501	5.041
9	0.703	0.883	1.100	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250	3.690	4.297	4.781
10	0.700	0.879	1.093	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	3.581	4.144	4.587
11	0.697	0.876	1.088	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	3.497	4.025	4.437
12	0.695	0.873	1.083	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055	3.428	3.930	4.318
13	0.694	0.870	1.079	1.350	1.771	2.160	2.650	3.012	3.372	3.852	4.221
14	0.692	0.868	1.076	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	3.326	3.787	4.140
15	0.691	0.866	1.074	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	3.286	3.733	4.073
16	0.690	0.865	1.071	1.337	1.746	2.120	2.583	2.921	3.252	3.686	4.015
17	0.689	0.863	1.069	1.333	1.740	2.110	2.567	2.898	3.222	3.646	3.965
18	0.688	0.862	1.067	1.330	1.734	2.101	2.552	2.878	3.197	3.610	3.922
19	0.688	0.861	1.066	1.328	1.729	2.093	2.539	2.861	3.174	3.579	3.883
20	0.687	0.860	1.064	1.325	1.725	2.086	2.528	2.845	3.153	3.552	3.850
21	0.686	0.859	1.063	1.323	1.721	2.080	2.518	2.831	3.135	3.527	3.819
22	0.686	0.858	1.061	1.321	1.717	2.074	2.508	2.819	3.119	3.505	3.792
23	0.685	0.858	1.060	1.319	1.714	2.069	2.500	2.807	3.104	3.485	3.767
24	0.685	0.857	1.059	1.318	1.711	2.064	2.492	2.797	3.091	3.467	3.745
25	0.684	0.856	1.058	1.316	1.708	2.060	2.485	2.787	3.078	3.450	3.725
26	0.684	0.856	1.058	1.315	1.706	2.056	2.479	2.779	3.067	3.435	3.707
27	0.684	0.855	1.057	1.314	1.703	2.052	2.473	2.771	3.057	3.421	3.690
28	0.683	0.855	1.056	1.313	1.701	2.048	2.467	2.763	3.047	3.408	3.674
29	0.683	0.854	1.055	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756	3.038	3.396	3.659
30	0.683	0.854	1.055	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750	3.030	3.385	3.646
40	0.681	0.851	1.050	1.303	1.684	2.021	2.423	2.704	2.971	3.307	3.551
50	0.679	0.849	1.047	1.299	1.676	2.009	2.403	2.678	2.937	3.261	3.496
60	0.679	0.848	1.045	1.296	1.671	2.000	2.390	2.660	2.915	3.232	3.460
80	0.678	0.846	1.043	1.292	1.664	1.990	2.374	2.639	2.887	3.195	3.416
100	0.677	0.845	1.042	1.290	1.660	1.984	2.364	2.626	2.871	3.174	3.390
120	0.677	0.845	1.041	1.289	1.658	1.980	2.358	2.617	2.860	3.160	3.373
${\displaystyle \infty }$	0.674	0.842	1.036	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576	2.807	3.090	3.291

Наприклад, якщо ми маємо вибірку з варіацією 2 та середнім значенням 10, вибраним з набору 11 елементів (10 ступенів свободи), використовуючи формулу:

${\displaystyle {\overline {X}}_{n}\pm A{\frac {S_{n}}{\sqrt {n}}}}$

Ми можемо визначити що з 90-відсотковою впевненістю ми маємо дійсне середнє значення, яке лежить в інтервалі:

${\displaystyle 10+1.37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=10.58510}$

Та, знову з 90 % впевненістю, ми маємо дійсне середнє значення, яке лежить поза інтервалом:

${\displaystyle 10-1.37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=9.41490}$

Так, з 80 % впевненістю, ми маємо дійсне середнє значення, яке лежить поміж:

${\displaystyle 10\pm 1.37218{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {11}}}=[9.41490,10.58510]}$

Література

• «Student» (W.S. Gosset) (1908) The probable error of a mean. Biometrika^[en] 6(1):1-25.
• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. (1972) Handbook of Mathematical Functions^[en] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. (See Section 26.7.)
• R.V. Hogg and A.T. Craig (1978) Introduction to Mathematical Statistics. New York: Macmillan.

Посилання

• VassarStats Density plot, critical values, etc., calculated for a user-specified number of d.f.
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) (Remarks on the history of the term «Student's distribution»)
• Distribution Calculator [Архівовано 29 січня 2007 у Wayback Machine.] Calculates probabilities and critical values for normal, t-, chi2- and F-distribution
• New Methods for Managing «Student's» T Distribution Surveys techniques for sampling with new techniques using the inverse CDF directly

Див. також

• Статистика
• Теорія ймовірностей

Примітки

п о р Розподіли ймовірності Перелік розподілів імовірності Дискретні одновимірні зі скінченним носієм Бенфорда Бернуллі бета-біноміальний біноміальний біноміальний Пуассона[en] гіпергеометричний дискретний рівномірний категорійний Радемахера[en] Ципфа Ципфа — Мандельброта[en] Дискретні одновимірні з нескінченним носієм Бореля[en] бета-негативний біноміальний від'ємний біноміальний геометричний Ґауса — Кузьмина Делапорта[en] Дзета-розподіл дискретний фазовий[en] Конвея — Максвелла — Пуассона[en] логарифмічний параболічний фрактальний[en] Пуассона розширений від'ємний біноміальний[en] Скелама[en] Юла — Саймона[en] Неперервні одновимірні з носієм на обмеженому проміжку ARGUS[en] арксинусний[en] Бейтса бета Болдінґа — Ніколса Ірвіна — Гола[en] квантилі[en] Кумарасвамі[en] логістично-нормальний нецентральний бета[en] півколо Вігнера[en] піднятий косинусний[en] прямокутний бета[en] рівномірний трикутний[en] У-квадратичний[en] Неперервні одновимірні з носієм на напів-нескінченному проміжку Беніні Бенктандера I типу[en] Бенктандера II типу[en] Берра[en] бета-простий[en] Вейбула гамма (обернений) ґамма/Ґомперца гіперекспоненційний[en] гіперерлангів[en] гіпоекспоненційний[en] Готелінґа[en] Ґомперца[en] Ґумбеля II типу[en] Дагума[en] Девіса[en] експоненційний експоненційно-логарифмічний[en] Ерланга згорнений нормальний[en] зсунений Ґомперца[en] Колмогорова Леві логарифмічний Коші[en] логарифмічно-лапласів[en] логарифмічно-логістичний[en] логарифмічно-нормальний Ломакса лямбда Уїлкса[en] Максвелла — Больцмана Максвелла — Ютнера[en] матрично-експоненційний[en] Міттага-Лефлера[en] Накаґамі напівлогістичний[en] напівнормальний[en] нецентрований хі-квадрат обернений нормальний[en] обернений хі-квадрат[en] масштабований обернений хі-квадрат[en] Парето полівейбулів[en] присічений нормальний[en] Райса Рейлі релятивістський Брейта — Вігнера[en] узагальнений обернений нормальний[en] фазовий[en] Фішера Флорі—Шульца Фреше хі хі-квадрат Неперервні одновимірні з носієм на всій дійсній прямій асиметричний нормальний[en] геометричний стійкий[en] гіперболічний секансний[en] Гольцмарка[en] Ґумбеля[en] Ґумбеля I типу[en] дисперсійний гамма[en] експоненційний ступеневий[en] z Фішера Скісний Коші Ландау[en] Лапласа асиметричний Лапласа[en] логістичний нецентральний t[en] нормальний (Ґауса) нормально-обернений ґаусів[en] стійкий SU Джонсона[en] t Стьюдента Трейсі — Відома[en] узагальнений гіперболічний[en] узагальнений нормальний[en] Фойґта Неперервні одновимірні з носієм змінного типу зсунений логарифмічно-логістичний[en] q-вейбулів[en] q-гауссів q-експоненційний[en] лямбда Тьюкі[en] узагальнений екстремальних значень[en] узагальнений Парето Змішані неперервно-дискретні одновимірні спрямлений ґаусів[en] Багатовимірні (спільні) Дискретні від'ємний поліноміальний[en] Еванса[en] поліноміальний поліноміальний Діріхле[en] Неперервні багатовимірний нормальний багатовимірний t[en] багатовимірний стійкий[en] Діріхле нормальний гамма[en] нормально-обернений гамма[en] узагальнений Діріхле[en] Матричнозначні Вішарта[en] матричний гамма[en] матричний нормальний[en] матричний t[en] нормальний Вішарта[en] нормально-обернений Вішарта[en] обернений Вішарта[en] обернений матричний гамма[en] Напрямкові Одновимірні (кругові) напрямкові намотаний асиметричний Лапласа[en] намотаний експоненційний[en] намотаний Коші[en] намотаний Леві[en] намотаний нормальний[en] круговий рівномірний[en] рівномірний фон Мізаса[en] Двовимірні (сферичні) Кента[en] Двовимірні (тороїдні) двовимірний фон Мізаса[en] Багатовимірні Бінгема[en] фон Мізаса — Фішера[en] Вироджені та сингулярні[en] Вироджені Дельта-функція Дірака Сингулярні Кантора Сімейства експоненційні[en] еліптичні намотані[en] зсуву-масштабу[en] кругові[en] максимальної ентропії[en] Пірсона[en] природні експоненційні[en] складені Пуассона[en] сумішеві Твіді[en]

п о р Статистика Нарис Індекс[en]   Описова статистика Неперервні дані Центр Середнє арифметичне геометричне гармонійне середні зважені Медіана Мода Розкид Дисперсія Стандартне відхилення Коефіцієнт варіації Перцентиль Розмах Міжквартильний розмах Форма Центральна гранична теорема Момент Асиметрія Ексцес L-момент Чисельні дані Індекс дисперсії Підсумкові таблиці Згруповані дані Частотний розподіл Таблиця спряженості Залежність Коефіцієнт кореляції Пірсона Кореляція рангу ρ Спірмена τ Кендала Часткова кореляція Точкова діаграма Графіки Стовпчикова діаграма Подвійний графік Коробковий графік Контрольна карта Корелограма Віялова діаграма Лісова діаграма Гістограма Секторна діаграма Графік Q-Q Графік біжучої послідовності Точкова діаграма Діаграма «стовбур — листя» Пелюсткова діаграма Скрипкова діаграма   Збирання даних Планування дослідження Генеральна сукупність Статистика Розмір ефекту[en] Статистична потужність Оптимальний план Вибірка Визначення розмірів вибірки Реплікація[en] Пропущені дані[en] Методологія дослідження Відбір вибірки стратифікований кластерний Стандартне відхилення середнього арифметичного Опитування Анкетування Активні експерименти Науковий контроль Рандомізований експеримент Контрольоване дослідження Випадкове призначування[en] Групування Взаємодія (статистика) Повний факторний експеримент Адаптивне планування Адаптивне клінічне випробування[en] Збільшувально-зменшувальні плани[en] Стохастичне наближення[en] Пасивні дослідження Поперечне дослідження Когортне дослідження Природний експеримент Квазі-експеримент   Статистичне висновування Теорія статистики Генеральна сукупність Статистика Розподіл імовірності Вибірковий розподіл порядкова статистика Емпіричний розподіл оцінка густини Статистична модель визначення моделі[en] простір Lp Параметр зсуву масштабу форми Параметричне сімейство[en] правдоподібність (монотонна)[en] зсувно-масштабне сімейство[en] експоненційне сімейство[en] Повнота[en] Достатність Статистичний функціонал[en] натяжка U[en] V[en] Оптимальне рішення функція втрат Ефективність[en] Статистична відстань[en] розходження[en] Асимптотика[en] Робастність Частотницьке висновування Точкова оцінка Оцінні рівняння[en] максимальна правдоподібність метод моментів M-оцінювач[en] мінімальна відстань[en] Незміщені оцінки усереднено-незміщена мінімально-дисперсійна[en] Рао — Блеквелізування теорема Леманна — Шеффе[en] Медіана Замінна[en] Інтервальне оцінювання[en] Довірчий інтервал Центральна величина[en] Інтервал правдоподібності Прогнозний інтервал[en] Толерантний інтервал[en] Перевибірка[en] натяжка складаний ніж Перевірка гіпотез 1- та 2-бічна[en] Потужність рівномірно найпотужніший критерій[en] Критерій перестановок критерій рандомізації[en] Множинні порівняння Параметричні критерії[en] Відношення правдоподібностей Множники Лагранжа[en] Вальд[en] Спеціальні критерії Z-критерій (нормальний) t-критерій Стьюдента F-критерій Допасованість Хі-квадрат G-критерій[en] Колмогорова-Смирнова Андерсона–Дарлінга Ліллієфорса[en] Харке–Бера[en] Нормальність (Шапіро–Вілка)[en] Перевірка відношенням правдоподібностей Обирання моделі Перехресне затверджування ІКА БІК Ранжувальні статистики Знаків[en] вибіркова медіана[en] Знаковий ранг (Уілкоксона)[en] оцінювач Ходжеса–Лемана[en] Рангова сума (Манна–Уітні) Непараметричний[en] дисперсійний аналіз 1-бічний (Краскела–Уоліса)[en] 2-бічний (Фрідмана) впорядкована альтернатива (Джонкгіра–Терпстра)[en] Баєсове висновування Баєсова ймовірність апріорна апостеріорна Імовірний інтервал Коефіцієнт Баєса Баєсова оцінка Оцінка апостеріорного максимуму   Кореляційний та регресійний аналіз Кореляція Коефіцієнт кореляції Пірсона Часткова кореляція Змішувальна змінна Коефіцієнт детермінації Регресійний аналіз Похибки та залишки Регресійне затверджування[en] Моделі змішаних впливів Система одночасних рівнянь[en] Сплайни багатовимірної адаптивної регресії (MARS)[en] Лінійна регресія Проста лінійна регресія Звичайний метод найменших квадратів[en] Загальна лінійна модель Баєсова лінійна регресія Нестандартні передбачувачі Нелінійна регресія[en] Непараметрична[en] Напівпараметрична[en] Ізотонічна[en] Робастна[en] Гетероскедастичність Гомоскедастичність Узагальнена лінійна модель[en] Експоненційні сімейства[en] Логістична (Бернуллі) / Біноміальна регресія[en] / Регресія Пуассона Розбиття дисперсії[en] Дисперсійний аналіз (ANOVA) Коваріаційний аналіз Багатовимірний дисперсійний аналіз (MANOVA)[en] Ступені вільності   Категорійний / багатовимірний аналіз / аналіз часових рядів / виживаності Категорійний Каппа Коена[en] Таблиця спряженості Графова модель Логарифмічна модель Критерій МакНімара[en] Багатовимірний Регресія Багатовимірний дисперсійний аналіз (MANOVA)[en] Головні компоненти Канонічна кореляція Дискримінантний аналіз Кластерний аналіз Класифікація Модель структурних рівнянь[en] факторний аналіз Багатовимірні розподіли еліптичні розподіли нормальний Часові ряди Загальне Розклад Тенденції Стаціонарність Сезонне пристосування[en] Експоненційне згладжування Коінтеграція[en] Структурний розрив[en] Причинність за Грейнджером[en] Спеціальні критерії Дікі–Фуллера Йохансена[en] Q-статистика (Льюнга-Бокса) Дарбіна–Уотсона Бройша–Годфрі[en] Часова область Автокореляція (ACF) Частинна автокореляція (PACF)[en] Взаємна кореляція (XCF) Авторегресійне ковзне середнє (ARMA) Метод Бокса–Дженкінса (ARIMA)[en] Авторегресивна умовна гетероскедастичність (ARCH) Векторна авторегресія (VAR) Частотна область Оцінка[en] спектральної густини Аналіз Фур'є Вейвлет Уіттлівська правдоподібність[en] Виживаність Функція виживаності[en] Оцінювач Каплана–Меєра (границі добутку)[en] Модель пропорційних ризиків[en] Модель прискореного часу до відмови[en] Момент першого влучання[en] Інтенсивність відмов Оцінювач Нельсона–Аалена[en] Критерій Логарифмічний ранговий критерій[en]   Застосування Біологічна статистика Біоінформатика Клінічні випробування / дослідження[en] Епідеміологія Медична статистика Інженерна статистика Хемометрія Інженерія методів[en] Імовірнісне проєктування[en] Керування процесами / якістю Теорія надійності Ідентифікація систем[en] Соціальна статистика[en] Актуарна математика Перепис населення Правова статистика Демографічна статистика Економетрія Юриметрія[en] Національне рахівництво Офіційна статистика[en] Психометрія Просторова статистика Картографія Екологічна статистика[en] Геоінформаційні системи Геостатистика Кригінг Категорія   Портал «Математика» Вікісховище