Alpha-beta剪枝

Alpha-beta剪枝是一种搜索算法，用以减少极小化极大算法（Minimax算法）搜索树的节点数。这是一种对抗性搜索算法，主要应用于机器游玩的二人游戏（如井字棋、象棋、围棋）。当算法评估出某策略的后续走法比之前策略的还差时，就会停止计算该策略的后续发展。该算法和极小化极大算法所得结论相同，但剪去了不影响最终决定的分枝^[1]。

历史

Allen Newell和Herbert A. Simon在1958年，使用了John McCarthy所谓的“近似”alpha-beta算法^[2]，此算法当时“应已重新改造过多次”^[3]。亞瑟·李·塞謬爾（Arthur Samuel）有一个早期版本，同时Richards、Hart、Levine和/或Edwards在美国分别独立发现了alpha-beta^[4]。McCarthy在1956年达特默思会议上提出了相似理念，并在1961年建议给他的一群学生，其中包括MIT的Alan Kotok^[5]。Alexander Brudno独立发现了alpha-beta算法，并在1963年发布成果^[6]。Donald Knuth和Ronald W. Moore在1975年优化了算法^[7][8]，Judea Pearl在1982年证明了其最优性^[9]。

对原版极小化极大算法的改进

Alpha-beta的优点是减少搜索树的分枝，将搜索时间用在“更有希望”的子树上，继而提升搜索深度。该算法和极小化极大算法一样，都是分支限界类算法。若节点搜索顺序达到最优化或近似最优化（将最佳选择排在各节点首位），则同样时间内搜索深度可达极小化极大算法的两倍多。

在（平均或恒定）分枝因子为b，搜索深度为d层的情况下，要评估的最大（即招法排序最差时）叶节点数目为O(b*b*...*b) = O(b^d)——即和简单极小化极大搜索一样。若招法排序最优（即始终优先搜索最佳招法），则需要评估的最大叶节点数目按层数奇偶性，分别约为O(b*1*b*1*...*b)和O(b*1*b*1*...*1)（或O(b^d/2) = O(√b^d)）。其中层数为偶数时，搜索因子相当于减少了其平方根，等于能以同深度搜索两次^[10]。b*1*b*1*...意义为，对第一名玩家必须搜索全部招法找到最佳招式，但对于它们，只用将第二名玩家的最佳招法截断——alpha-beta确保无需考虑第二名玩家的其他招法。但因节点生成顺序随机，实际需要评估的节点平均约为O(b^3d/4)^[2]。

一般在alpha-beta中，子树会由先手方优势或后手方优势暂时占据主导。若招式排序错误，这一优势会多次切换，每次让效率下降。随着层数深入，局面数量会呈指数性增长，因此排序早期招式价值很大。尽管改善任意深度的排序，都以能指数性减少总搜索局面，但排序临近根节点深度的全部局面相对经济。在实践中，招法排序常由早期、小型搜索决定，如通过迭代加深。

算法使用两个值alpha和beta，分别代表大分玩家放心的最高分，以及小分玩家放心的最低分。alpha和beta的初始值分别为正负无穷大，即双玩家都以可能的最低分开始游戏。在选择某节点的特定分枝后，可能发生小分玩家放心的最小分小于大分玩家放心的最大分（beta <= alpha）。这种情况下，父节点不应选择这个节点，否则父节点分数会降低，因此该分枝的其他节点没有必要继续探索。

伪代码

下面为一有限可靠性版本的Alpha-beta剪枝的虛擬代碼^[10]：

 function alphabeta(node, depth, α, β, maximizingPlayer) // node = 节点，depth = 深度，maximizingPlayer = 大分玩家
     if depth = 0 or node是终端節點
         return 節點的啟發值
     if maximizingPlayer
         v := -∞
         for 每个子節點
             v := max(v, alphabeta(child, depth - 1, α, β, FALSE)) // child = 子節點
             α := max(α, v)
             if β ≤ α
                 break // β裁剪
         return v
     else
         v := ∞
         for 每个子節點
             v := min(v, alphabeta(child, depth - 1, α, β, TRUE))
             β := min(β, v)
             if β ≤ α
                 break // α裁剪
         return v

(* 初始調用 *)
alphabeta(origin, depth, -∞, +∞, TRUE) // origin = 初始節點

在這個有限可靠性的alpha-beta中，當v超出調用參數α和β構成的集合時（v < α或v > β），alphabeta函數返回值v。而與此相對，強化的有限可靠性alpha-beta限制函數返回在α與β包括範圍中的值。

参考文献

• George T. Heineman, Gary Pollice, and Stanley Selkow. Chapter 7: Path Finding in AI. Algorithms in a Nutshell. Oreilly Media. 2008: 217–223. ISBN 978-0-596-51624-6. 
• Judea Pearl, Heuristics, Addison-Wesley, 1984
• John P. Fishburn. Appendix A: Some Optimizations of α-β Search. Analysis of Speedup in Distributed Algorithms (revision of 1981 PhD thesis). UMI Research Press. 1984: 107-111. ISBN 0-8357-1527-2. 

1. ^ Russell, Stuart J.; Norvig, Peter. Artificial Intelligence: A Modern Approach 3rd. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education, Inc. 2010: 167 [2016-02-05]. ISBN 0-13-604259-7. （原始内容存档于2011-02-28）. 
2. ^ ^{2.0 2.1} McCarthy, John. Human Level AI Is Harder Than It Seemed in 1955. LaTeX2HTML 27 November 2006 [2006-12-20]. （原始内容存档于2012-04-08）.  请检查|date=中的日期值 (帮助)
3. ^ Newell, Allen and Herbert A. Simon. Computer Science as Empirical Inquiry: Symbols and Search (PDF). Communications of the ACM. March 1976, 19 (3) [2006-12-21]. doi:10.1145/360018.360022. （原始内容 (PDF)存档于2007-06-28）. 
4. ^ Edwards, D.J. and Hart, T.P. The Alpha–beta Heuristic (AIM-030). Massachusetts Institute of Technology. 4 December 1961 to 28 October 1963 [2006-12-21]. （原始内容存档于2012-04-08）.  请检查|date=中的日期值 (帮助)
5. ^ Kotok, Alan. MIT Artificial Intelligence Memo 41. 2004-12-03 [2006-07-01]. （原始内容存档于2012-04-08）. 
6. ^ Marsland, T.A.. Computer Chess Methods (PDF) from Encyclopedia of Artificial Intelligence. S. Shapiro (editor) (PDF). J. Wiley & Sons: 159–171. May 1987 [2006-12-21]. （原始内容 (PDF)存档于2008-10-30）. 
7. ^ * Knuth, D. E., and Moore, R. W. An Analysis of Alpha–Beta Pruning (PDF). Artificial Intelligence. 1975, 6 (4): 293–326. doi:10.1016/0004-3702(75)90019-3. ^{[永久失效連結]} Reprinted as Chapter 9 in Knuth, Donald E. Selected Papers on Analysis of Algorithms. Stanford, California: Center for the Study of Language and Information - CSLI Lecture Notes, no. 102. 2000 [2016-02-05]. ISBN 1-57586-212-3. OCLC 222512366. （原始内容存档于2010-11-15）. 
8. ^ Abramson, Bruce. Control Strategies for Two-Player Games (PDF). ACM Computing Surveys. June 1989, 21 (2): 137 [2008-08-20]. doi:10.1145/66443.66444. （原始内容 (PDF)存档于2008-08-20）. 
9. ^ Pearl, Judea. The Solution for the Branching Factor of the Alpha–beta Pruning Algorithm and its Optimality. Communications of the ACM. August 1982, 25 (8): 559–564. doi:10.1145/358589.358616. 
10. ^ ^{10.0 10.1} Russell, Stuart J.; Norvig, Peter, Artificial Intelligence: A Modern Approach 2nd, Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall, 2003 [2016-02-05], ISBN 0-13-790395-2, （原始内容存档于2011-02-28） 

外部链接

• http://www.emunix.emich.edu/~evett/AI/AlphaBeta_movie/sld001.htm（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://sern.ucalgary.ca/courses/CPSC/533/W99/presentations/L1_5B_McCullough_Melnyk/（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://sern.ucalgary.ca/courses/CPSC/533/W99/presentations/L2_5B_Lima_Neitz/search.html（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• https://web.archive.org/web/20021223103359/http://www.maths.nott.ac.uk/personal/anw/G13GAM/alphabet.html
• https://web.archive.org/web/20041123061044/http://chess.verhelst.org/search.html
• http://www.frayn.net/beowulf/index.html（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://hal.inria.fr/docs/00/12/15/16/PDF/RR-6062.pdf（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Minimax (with or without alpha–beta pruning) algorithm visualization - game tree solving (Java Applet), for balance or off-balance trees（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Demonstration/animation of minimax game search algorithm with alpha–beta pruning (using html5, canvas, javascript, css)（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Java implementation used in a Checkers Game（页面存档备份，存于互联网档案馆）