Benjamin-Ono-Gleichung

Die Benjamin-Ono-Gleichung (BO-Gleichung) ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung (Evolutionsgleichung) mit Solitonenlösung. Sie ist exakt integrabel und eine Integro-Differentialgleichung der Form:[1]

u t + H ( u x x ) + 2 u u x = 0 {\displaystyle u_{t}+H(u_{xx})+2uu_{x}=0}

wobei H {\displaystyle H} die Hilbert-Transformation ist:

H f ( x ) = 1 π CH ⁡ ∫ − ∞ ∞ f ( y ) y − x d y {\displaystyle Hf(x)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {CH} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(y)}{y-x}}dy}

und CH {\displaystyle \operatorname {CH} } für den Cauchyschen Hauptwert steht. Tiefgestellte Indizes bedeuten partielle Ableitungen.

Die Benjamin-Ono-Gleichung ist durch Inverse Streutransformation (IST) exakt lösbar[2] und wurde 1967 zur Beschreibung interner Wasserwellen in großer Tiefe eingeführt.[3][4] Innere Wellen entstehen z. B. an Grenzflächen von Flüssigkeitsschichten unterschiedlicher Dichte.

Sie ist nach H. Ono und Brooke Benjamin benannt.

Intermediate Long Wave-Gleichung

Zur Beschreibung innerer Wellen wird manchmal auch die ILW (Intermediate Long Wave)-Gleichung benutzt.[5] Sie ist ebenfalls eine Integro-Differentialgleichung mit einem singulären Integraloperator, besitzt jedoch gegenüber der Benjamin-Ono-Gleichung zusätzlich einen Term u x δ {\displaystyle {\frac {u_{x}}{\delta }}} , in dem die Konstante δ {\displaystyle \delta } die Tiefe angibt:

u t + u x δ + T ( u x x ) + 2 u u x = 0 {\displaystyle u_{t}+{\frac {u_{x}}{\delta }}+T(u_{xx})+2uu_{x}=0}

mit dem Integraloperator (Faltung von u x x {\displaystyle u_{xx}} mit Kotangens hyperbolicus)

T ( f ( x ) ) = 1 2 δ CH ⁡ ∫ − ∞ ∞ coth ⁡ ( π 2 δ ( y − x ) ) f ( y ) d y {\displaystyle T(f(x))={\frac {1}{2\delta }}\operatorname {CH} \int _{-\infty }^{\infty }\coth({\frac {\pi }{2\delta }}(y-x))f(y)dy}

Für δ → ∞ {\displaystyle \delta \rightarrow \infty } (tiefes Wasser) geht die Intermediate Long Wave-Gleichung in die Benjamin-Ono-Gleichung über und für δ → 0 {\displaystyle \delta \rightarrow 0} (flaches Wasser) in die Korteweg-de-Vries-Gleichung. Die IST für die ILW vermittelt zwischen den IST-Schemen dieser beiden Grenzfälle.

Das IST-Schema der Benjamin-Ono-Gleichung hat eher die Form eines IST-Schemas für mehrdimensionale Probleme (zwei Dimensionen). Die Untersuchung von ILW- und BO-Gleichung ist deshalb auch mathematisch von Interesse für den Übergang von ein- zu mehrdimensionalen IST-Schemen.

Es gibt Varianten der Gleichung, die auch exakt integrabel sind.

Literatur

  • Ablowitz, Clarkson, Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering, Cambridge University Press 1991, S. 163ff (Kapitel 4)

Weblinks

  • Benjamin Ono equation, Dispersive wiki, Universität Toronto

Einzelnachweise

  1. ↑ Nach Clarkson, Ablowitz, siehe Literatur, manchmal auch in leicht abgewandelter Form, zum Beispiel ohne Koeffizient 2
  2. ↑ M. J. Ablowitz, A. S. Fokas, The inverse scattering transform for the Benjamin-Ono equation---a pivot to multidimensional problems. Stud. Appl. Math., 68 (1983), 1–10
  3. ↑ T. Benjamin, Internal waves of permanent form in fluids of great depth. J. Fluid Mech, 29 (1967), 559–562
  4. ↑ H. Ono, Algebraic solitary waves in stratified fluids. J. Phys.Soc. Japan, 39 (1975), 1082–1091
  5. ↑ Ablowitz, Clarkson, Solitons, nonlinear evolution equations and inverse scattering, Cambridge University Press 1991, S. 3