Die cauchysche Integralformel (nach Augustin Louis Cauchy) ist eine der fundamentalen Aussagen der Funktionentheorie, eines Teilgebietes der Mathematik. Sie besagt in ihrer schwächsten Form, dass die Werte einer holomorphen Funktion
im Inneren einer Kreisscheibe bereits durch ihre Werte auf dem Rand dieser Kreisscheibe bestimmt sind. Eine starke Verallgemeinerung davon ist der Residuensatz.
Aussage
Ist
offen,
holomorph,
ein Punkt in
und
eine relativ kompakte Kreisscheibe in
, dann gilt für alle
, also für alle
mit
:
![{\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cfe2112027384830f4158693e3b2853d5d78fa3)
Dabei ist
die positiv orientierte Kurve
für
über den Rand von
.
Beweis
Für festes
sei die Funktion
definiert durch
für
und
für
.
ist stetig auf
und holomorph auf
. Mit dem Integralsatz von Cauchy gilt nun
.
Die Funktion
,
ist holomorph mit der Ableitung
, welche verschwindet, da der Integrand eine Stammfunktion (nämlich
) hat. Also ist
konstant, und wegen
ist
.
Folgerungen
- Für jede holomorphe Funktion gilt: Der Funktionswert im Mittelpunkt eines Kreises ist der Mittelwert der Funktionswerte auf dem Kreisrand. Verwende dabei
.
![{\displaystyle f|_{U}(a)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -a}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(a+re^{\mathrm {i} t})}{re^{\mathrm {i} t}}}\mathrm {i} re^{\mathrm {i} t}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(a+re^{\mathrm {i} t})\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c12fb2ba8370f5a675e976b3f93384ace6058df)
- Jede holomorphe Funktion ist beliebig oft komplex differenzierbar und jede dieser Ableitungen ist wieder holomorph. Mit der Integralformel ausgedrückt heißt das für
und
:
![{\displaystyle f^{(n)}(z)={\frac {n!}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -z\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5945186a1d4cba29cf40c860823d0781593ffb50)
- Jede holomorphe Funktion ist lokal in eine Potenzreihe entwickelbar für
.
![{\displaystyle f(z)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\left(\zeta -a\right)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \right)(z-a)^{n}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50735c124141fb38aec0b82f1d00c1629e902ae0)
- Mit der Integralformel für
folgt sofort, dass die Koeffizienten
genau die Taylor-Koeffizienten sind. Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung, wenn
für
gilt:
![{\displaystyle |a_{n}|\leq {\frac {M}{r^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a831dd9261990f8be452e4b48712e0687d3dc2)
Beweise
Die Cauchysche Integralformel wird partiell differenziert, wobei man Differentiation und Integration vertauschen darf:
![{\displaystyle {\begin{aligned}f^{(n)}|_{U}(z)&={\frac {\partial ^{n}f}{\partial z^{n}}}|_{U}(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}{\frac {\partial ^{n}}{\partial z^{n}}}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta \\&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}f(\zeta )\underbrace {{\frac {\partial ^{n}}{\partial z^{n}}}{\frac {1}{\zeta -z}}} _{n!/(\zeta -z)^{1+n}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {n!}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -z)^{1+n}}}\mathrm {d} \zeta \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f500daa0491ef141a9234734b07a200380b12bab)
Entwicklung von
in der Cauchyschen Integralformel mit Hilfe der geometrischen Reihe ergibt
![{\displaystyle {\begin{aligned}f|_{U}(z)&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -a-(z-a)}}\mathrm {d} \zeta \\&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -a}}{\frac {1}{1-{\frac {z-a}{\zeta -a}}}}\mathrm {d} \zeta \,{\overset {|{\frac {z-a}{\zeta -a}}|<1}{=}}\,{\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -a}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z-a}{\zeta -a}}\right)^{n}\mathrm {d} \zeta \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\underbrace {\left({\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -a)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \right)} _{a_{n}}(z-a)^{n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c03d41ca97b208ea55891927e42d2fd14a5baf17)
Da für
die geometrische Reihe gleichmäßig konvergiert, darf man gliedweise integrieren, d. h. Summe und Integral vertauschen. Die Entwicklungskoeffizienten sind:
![{\displaystyle {\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!}}f^{(n)}|_{U}(a)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\partial U_{r}(a)}{\frac {f(\zeta )}{(\zeta -a)^{n+1}}}\mathrm {d} \zeta \\&={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {f(a+re^{\mathrm {i} t})}{(re^{\mathrm {i} t})^{n+1}}}\mathrm {i} re^{\mathrm {i} t}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2\pi r^{n}}}\int _{0}^{2\pi }f(a+re^{\mathrm {i} t})e^{-\mathrm {i} nt}\,\mathrm {d} t\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29b4179b16065969a27bf4e8d01869812180d83c)
Für die Koeffizienten gilt folgende Abschätzung. Es existiere ein
mit
für
; dann gilt für
:
![{\displaystyle |a_{n}|=\left|{\frac {1}{2\pi r^{n}}}\int _{0}^{2\pi }f(a+re^{\mathrm {i} t})e^{-\mathrm {i} nt}\,\mathrm {d} t\right|\leq {\frac {1}{2\pi r^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\underbrace {|f(a+re^{\mathrm {i} t})|} _{\leq M}\,\mathrm {d} t\leq {\frac {M}{r^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7aa6fcca8f9ebd6a5a5a64251f11b70523c8374)
Ist
auf ganz
holomorph und beschränkt, also
für alle
, dann gilt wie vorher für alle
:
![{\displaystyle |a_{n}|\leq {\frac {M}{r^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a831dd9261990f8be452e4b48712e0687d3dc2)
Da
beliebig war, gilt dann
für alle
. Somit folgt aus der Beschränktheit von
:
![{\displaystyle f(z)=a_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88f00507a4770d72de4ec398da8f728b74a21f8c)
Das heißt, jede beschränkte auf ganz
holomorphe Funktion ist konstant (Satz von Liouville).
Beispiel
Mit Hilfe der Integralformel können auch Integrale ausgerechnet werden:
![{\displaystyle \oint _{\partial U_{2}(0)}{\frac {e^{2\zeta }}{\left(\zeta +1\right)^{4}}}\mathrm {d} \zeta ={\frac {2\pi \mathrm {i} }{3!}}{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} z^{3}}}e^{2z}|_{z=-1}={\frac {8\pi \mathrm {i} }{3e^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7569bccc54acdfabf019bd4f65c6d283000bd04)
Die cauchysche Integralformel wurde auch auf den mehrdimensionalen, komplexen Raum
verallgemeinert. Seien
Kreisscheiben in
, dann ist
ein Polyzylinder in
. Sei
eine holomorphe Funktion und
Dann ist die cauchysche Integralformel durch
![{\displaystyle f(z_{1},\ldots ,z_{n})={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U_{n}}\cdots \oint _{\partial U_{1}}{\frac {f(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}{(\xi _{1}-z_{1})\cdots (\xi _{n}-z_{n})}}\mathrm {d} \xi _{1}\cdots \mathrm {d} \xi _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fae481658aea05f76eedf47f7ee491d8f183dfa7)
erklärt. Da der cauchysche Integralsatz im mehrdimensionalen Raum nicht gilt, kann diese Formel nicht analog zum eindimensionalen Fall aus ihm hergeleitet werden. Diese Integralformel wird daher mithilfe von Induktion aus der cauchyschen Integralformel für Kreisscheiben hergeleitet. Mithilfe der Multiindexschreibweise kann die Formel wieder zu
,
mit
verkürzt werden. Im mehrdimensionalen gilt ebenfalls die Formel
![{\displaystyle D^{k}f(z_{1},\ldots ,z_{n})={\frac {k!}{(2\pi i)^{n}}}\oint _{\partial U_{n}}\cdots \oint _{\partial U_{1}}{\frac {f(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})}{(\xi _{1}-z_{1})^{k_{1}+1}\cdots (\xi _{n}-z_{n})^{k_{n}+1}}}d\xi _{1}\cdots d\xi _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d44b7ec68952e025355a6480588980d840831f08)
für die Ableitungen der holomorphen Funktion
als auch die cauchysche Ungleichung
![{\displaystyle \left|D^{k}f(z)\right|\leq {\frac {M\cdot k!}{r^{k}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dc0d069d20cfd9d24205b0896bdc1d398df5b8d)
wobei
und
der Radius des Polyzylinders
ist.[1] Eine weitere Verallgemeinerung dieser Integralformel ist die Bochner-Martinelli-Formel.
Eine Verallgemeinerung der Integralformel für Kreiskurven stellt die Version für Zyklen dar:
Ist
ein Gebiet,
holomorph und
ein nullhomologer Zyklus in
, dann gilt für alle
, die nicht auf
liegen, folgende Integralformel:
![{\displaystyle \operatorname {ind} _{\Gamma }(z)f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\int _{\Gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51e9b4486f833c3fb338fd23739d31ae186bd4f7)
Dabei bezeichnet
die Umlaufzahl von
um
.
Einzelnachweise
- ↑ Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables. North-Holland Pub. Co. u. a., Amsterdam u. a. 1973, ISBN 0-444-10523-9, S. 25–27.
Literatur
- Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis. Band 3: Funktionentheorie, Differentialgleichungen. 6. überarbeitete Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1987, ISBN 3-89104-456-9, S. 153, Satz 4.9.1.
- Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. 7. verbesserte Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1994, ISBN 3-528-67247-1, S. 60, Kapitel 3, Satz 2.2 (Vieweg-Studium. Aufbaukurs Mathematik 47).