Gieseking-Konstante

Die Gieseking-Konstante ist eine mathematische Konstante, die das maximale Volumen hyperbolischer Tetraeder angibt.[1][2] Sie ist nach Hugo Gieseking (1887–1915) benannt, der 1912 aus einem solchen Tetraeder durch Verschmelzung von Seitenflächen die Gieseking-Mannigfaltigkeit konstruierte.[3] Colin Adams konnte 1987 nachweisen, dass die Gieseking-Mannigfaltigkeit die eindeutige nichtkompakte hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit mit minimalem Volumen ist.[4] Die Gieseking-Konstante wird nach Nikolai Lobatschewski auch Lobatschewski-Konstante genannt.[5]

Definition

Die Gieseking-Konstante ist definiert als

G = ∫ 0 2 π / 3 ln ⁡ ( 2 cos ⁡ t 2 ) d t = 1 , 01494 16064 09653 62502 12025 54274 52028 59416 89307 53029 … {\displaystyle G=\int _{0}^{2\pi /3}\ln \left(2\cos {\tfrac {t}{2}}\right){\mathrm {d} }t=1,01494\;16064\;09653\;62502\;12025\;54274\;52028\;59416\;89307\;53029\;\ldots }

(siehe die Folge A143298 in OEIS).

Die Gieseking-Konstante kann auch über eine Reihenentwicklung definiert werden:

G = 3 3 4 ( ∑ k = 0 ∞ 1 ( 3 k + 1 ) 2 − ∑ k = 0 ∞ 1 ( 3 k + 2 ) 2 ) = 3 3 4 ( 1 − 1 2 2 + 1 4 2 − 1 5 2 + 1 7 2 − 1 8 2 ± … ) {\displaystyle G={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3k+1)^{2}}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(3k+2)^{2}}}\right)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4}}\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}-{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}-{\frac {1}{8^{2}}}\pm \ldots \right)} .

Beide Definitionen sind zueinander identisch.

Weitere Darstellungen

Funktionaldarstellungen

Alternative Schreibweisen der Gieseking-Konstante sind

G = C l 2 ( 1 3 π ) {\displaystyle G={\rm {Cl_{2}}}\left({\frac {1}{3}}\pi \right)} ,

wobei C l 2 {\displaystyle {\rm {Cl_{2}}}} die Clausen-Funktion ist,

G = 1 36 i ( π 2 − 36 L i 2 ( − ( − 1 ) 2 / 3 ) ) = 1 2 i ( L i 2 ( ( − 1 ) 2 / 3 ) − L i 2 ( ( − 1 ) 1 / 3 ) ) {\displaystyle G={\frac {1}{36}}i\left(\pi ^{2}-36{\rm {Li_{2}}}(-(-1)^{2/3})\right)={\frac {1}{2}}i\left({\rm {Li_{2}}}((-1)^{2/3})-{\rm {Li_{2}}}((-1)^{1/3})\right)} ,

wobei L i 2 {\displaystyle {\rm {Li_{2}}}} der (klassische) Dilogarithmus ist,

G = D ( 1 2 + i 3 2 ) {\displaystyle G=D\left({\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)} ,

wobei D {\displaystyle D} der Bloch-Wigner-Dilogarithmus ist,

G = 3 Λ ( π 3 ) {\displaystyle G=3\Lambda \left({\frac {\pi }{3}}\right)} ,

wobei Λ {\displaystyle \Lambda } die Lobatschewski-Funktion ist, und

G = ψ 1 ( 1 3 ) − ψ 1 ( 2 3 ) 4 3 {\displaystyle G={\frac {\psi _{1}({\tfrac {1}{3}})-\psi _{1}({\tfrac {2}{3}})}{4{\sqrt {3}}}}} ,

wobei ψ 1 {\displaystyle \psi _{1}} die Trigamma-Funktion ist.

Integraldarstellungen

Folgendes Integral entsteht durch Substitution aus der gezeigten Integraldefinition:

G = ∫ 0 1 2 ( 1 + x ) ( 3 − x ) ln ⁡ ( 1 1 − x ) d x {\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {2}{\sqrt {(1+x)(3-x)}}}\ln {\biggl (}{\frac {1}{1-x}}{\biggr )}\mathrm {d} x}

Durch weitere Substitution entsteht die nun folgende Identität:

G = ∫ 0 1 8 artanh ⁡ ( x ) ( 1 + x ) ( 1 + 3 x ) ( 3 + x ) d x {\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {8\operatorname {artanh} (x)}{(1+x){\sqrt {(1+3x)(3+x)}}}}\,\mathrm {d} x}

Dieses Integral resultiert aus der Definition der Gieseking-Konstante über ihre Reihenentwicklung:

G = 3 3 4 ∫ 0 ∞ x exp ⁡ ( x ) exp ⁡ ( 2 x ) + exp ⁡ ( x ) + 1 d x {\displaystyle G={\frac {3\,{\sqrt {3}}}{4}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x\exp(x)}{\exp(2x)+\exp(x)+1}}\,\mathrm {d} x}

Eine weitere Integraldarstellung kann mit Hilfe der sogenannten Abel-Plana-Summenformel hervorgebracht werden:

G = 13 3 32 + 9 3 2 ∫ 0 ∞ x exp ⁡ ( − π x ) sinh ⁡ ( π x ) [ 1 ( 9 x 2 + 1 ) 2 − 2 ( 9 x 2 + 4 ) 2 ] d x {\displaystyle G={\frac {13\,{\sqrt {3}}}{32}}+{\frac {9\,{\sqrt {3}}}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x\exp(-\pi x)}{\sinh(\pi x)}}{\biggl [}{\frac {1}{(9x^{2}+1)^{2}}}-{\frac {2}{(9x^{2}+4)^{2}}}{\biggr ]}\mathrm {d} x}

Summendarstellungen

Mit den Mittleren Binomialkoeffizienten kann folgende Summenreihe über die Gieseking-Konstante aufgestellt werden:

∑ n = 1 ∞ 1 n 3 CBC ⁡ ( n ) = 2 π 3 G − 4 3 ζ ( 3 ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\operatorname {CBC} (n)}}={\frac {2\,\pi }{3}}\,G-{\frac {4}{3}}\,\zeta (3)}

So ist der Mittlere Binomialkoeffizient definiert:

CBC ⁡ ( n ) = ( 2 n n ) = ( 2 n ) ! ( n ! ) 2 = Π ( 2 n ) Π ( n ) 2 {\displaystyle \operatorname {CBC} (n)={2n \choose n}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}={\frac {\Pi (2n)}{\Pi (n)^{2}}}}
CBC ⁡ ( n ) = ∏ m = 1 ∞ [ ( 1 + n m ) 2 ( 1 + 2 n m ) − 1 ] {\displaystyle \operatorname {CBC} (n)=\prod _{m=1}^{\infty }{\bigl [}{\bigl (}1+{\frac {n}{m}}{\bigr )}^{2}{\bigl (}1+{\frac {2n}{m}}{\bigr )}^{-1}{\bigr ]}}

Die beiden nun genannten Formeln stimmen miteinander überein.

Literatur

  • Colin C. Adams: The newest inductee in the number hall of fame, Mathematics Magazine 71, Dezember 1998, S. 341–349 (englisch; Zentralblatt-Rezension)
  • Steven R. Finch: Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 233 (englisch; Finchs Webseite zum Buch mit Errata und Addenda: Mathematical Constants.)

Weblinks

  • Eric W. Weisstein: Gieseking’s Constant. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

  1. ↑ Adams: The newest inductee in the number hall of fame. 1998 (englisch)
  2. ↑ John W. Milnor: Hyperbolic geometry: The first 150 years. In: Bulletin of the AMS, 6, Januar 1982, S. 9–24 (englisch; Zentralblatt-Rezension; „This works out as 1.0149416....“ auf S. 20)
  3. ↑ Hugo Gieseking: Analytische Untersuchungen über topologische Gruppen. L. Wiegand, Hilchenbach 1912 (Inaugural-Dissertation an der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster; mit Lebenslauf bis 1911; Jahrbuch-Rezension)
  4. ↑ Colin C. Adams: The noncompact hyperbolic 3-manifold of minimal volume. In: Proceedings of the AMS, 100, August 1987, S. 601–606 (englisch; Zentralblatt-Rezension; „v = 1.01494....“ auf S. 602)
  5. ↑ Steven R. Finch: Volumes of Hyperbolic 3-Manifolds. (Memento vom 19. September 2015 im Internet Archive; PDF; 366 kB) 5. September 2004, S. 4 (englisch)